Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hilbert1.1 Structured version   Unicode version

Theorem hilbert1.1 26090
 Description: There is a line through any two distinct points. Hilbert's axiom I.1 for geometry. (Contributed by Scott Fenton, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
hilbert1.1 LinesEE
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem hilbert1.1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . . 5
2 simp2 959 . . . . 5
3 simp3 960 . . . . 5
4 eqidd 2439 . . . . 5 Line Line
5 neeq1 2611 . . . . . . 7
6 oveq1 6090 . . . . . . . 8 Line Line
76eqeq2d 2449 . . . . . . 7 Line Line Line Line
85, 7anbi12d 693 . . . . . 6 Line Line Line Line
9 neeq2 2612 . . . . . . 7
10 oveq2 6091 . . . . . . . 8 Line Line
1110eqeq2d 2449 . . . . . . 7 Line Line Line Line
129, 11anbi12d 693 . . . . . 6 Line Line Line Line
138, 12rspc2ev 3062 . . . . 5 Line Line Line Line
141, 2, 3, 4, 13syl112anc 1189 . . . 4 Line Line
15 fveq2 5730 . . . . . 6
1615rexeqdv 2913 . . . . . 6 Line Line Line Line
1715, 16rexeqbidv 2919 . . . . 5 Line Line Line Line
1817rspcev 3054 . . . 4 Line Line Line Line
1914, 18sylan2 462 . . 3 Line Line
20 ellines 26088 . . 3 Line LinesEE Line Line
2119, 20sylibr 205 . 2 Line LinesEE
22 linerflx1 26085 . 2 Line
23 linerflx2 26087 . 2 Line
24 eleq2 2499 . . . 4 Line Line
25 eleq2 2499 . . . 4 Line Line
2624, 25anbi12d 693 . . 3 Line Line Line
2726rspcev 3054 . 2 Line LinesEE Line Line LinesEE
2821, 22, 23, 27syl12anc 1183 1 LinesEE
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wrex 2708  cfv 5456  (class class class)co 6083  cn 10002  cee 25829  Linecline2 26070  LinesEEclines2 26072 This theorem is referenced by:  linethrueu  26092 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-ec 6909  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-ee 25832  df-btwn 25833  df-cgr 25834  df-colinear 25977  df-line2 26073  df-lines2 26075
 Copyright terms: Public domain W3C validator