HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilcompl Unicode version

Theorem hilcompl 22552
Description: Lemma used for derivation of the completeness axiom ax-hcompl 22553 from ZFC Hilbert space theory. The first 5 hypotheses would be satisfied by the definitions described in ax-hilex 22351; the 6th would be satisfied by eqid 2388; the 7th by a given fixed Hilbert space; and the last by theorem hlcompl 22266. (Contributed by NM, 13-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hilcompl.1  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
hilcompl.2  |-  +h  =  ( +v `  U )
hilcompl.3  |-  .h  =  ( .s OLD `  U
)
hilcompl.4  |-  .ih  =  ( .i OLD `  U
)
hilcompl.5  |-  D  =  ( IndMet `  U )
hilcompl.6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
hilcompl.7  |-  U  e. 
CHil OLD
hilcompl.8  |-  ( F  e.  ( Cau `  D
)  ->  E. x  e.  ~H  F ( ~~> t `  J ) x )
Assertion
Ref Expression
hilcompl  |-  ( F  e.  Cauchy  ->  E. x  e.  ~H  F  ~~>v  x )
Distinct variable group:    x, F
Allowed substitution hints:    D( x)    U( x)    J( x)

Proof of Theorem hilcompl
StepHypRef Expression
1 hilcompl.1 . . 3  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
2 hilcompl.2 . . 3  |-  +h  =  ( +v `  U )
3 hilcompl.3 . . 3  |-  .h  =  ( .s OLD `  U
)
4 hilcompl.4 . . 3  |-  .ih  =  ( .i OLD `  U
)
5 hilcompl.7 . . . 4  |-  U  e. 
CHil OLD
65hlnvi 22243 . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
71, 2, 3, 4, 6hilhhi 22515 . 2  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
8 hilcompl.5 . 2  |-  D  =  ( IndMet `  U )
9 hilcompl.6 . 2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
10 hilcompl.8 . 2  |-  ( F  e.  ( Cau `  D
)  ->  E. x  e.  ~H  F ( ~~> t `  J ) x )
117, 8, 9, 10hhcmpl 22551 1  |-  ( F  e.  Cauchy  ->  E. x  e.  ~H  F  ~~>v  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2651   class class class wbr 4154   ` cfv 5395   MetOpencmopn 16618   ~~> tclm 17213   Caucca 19078   +vcpv 21913   BaseSetcba 21914   .s
OLDcns 21915   IndMetcims 21919   .i
OLDcdip 22045   CHil
OLDchlo 22236   ~Hchil 22271    +h cva 22272    .h csm 22273    .ih csp 22274   Cauchyccau 22278    ~~>v chli 22279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004  ax-hilex 22351  ax-hfvadd 22352  ax-hvcom 22353  ax-hvass 22354  ax-hv0cl 22355  ax-hvaddid 22356  ax-hfvmul 22357  ax-hvmulid 22358  ax-hvmulass 22359  ax-hvdistr1 22360  ax-hvdistr2 22361  ax-hvmul0 22362  ax-hfi 22430  ax-his1 22433  ax-his2 22434  ax-his3 22435  ax-his4 22436
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-sum 12408  df-topgen 13595  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-lm 17216  df-cau 19081  df-grpo 21628  df-gid 21629  df-ginv 21630  df-gdiv 21631  df-ablo 21719  df-vc 21874  df-nv 21920  df-va 21923  df-ba 21924  df-sm 21925  df-0v 21926  df-vs 21927  df-nmcv 21928  df-ims 21929  df-dip 22046  df-cbn 22214  df-hlo 22237  df-hnorm 22320  df-hvsub 22323  df-hlim 22324  df-hcau 22325
  Copyright terms: Public domain W3C validator