HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilnormi Structured version   Unicode version

Theorem hilnormi 22666
Description: Hilbert space norm in terms of vector space norm. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hilnorm.5  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
hilnorm.2  |-  .ih  =  ( .i OLD `  U
)
hilnorm.9  |-  U  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
hilnormi  |-  normh  =  (
normCV
`  U )

Proof of Theorem hilnormi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilnorm.9 . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
2 hilnorm.5 . . . . 5  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
3 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
4 hilnorm.2 . . . . 5  |-  .ih  =  ( .i OLD `  U
)
52, 3, 4ipnm 22211 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  =  ( sqr `  ( x 
.ih  x ) ) )
61, 5mpan 653 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  =  ( sqr `  ( x 
.ih  x ) ) )
76mpteq2ia 4292 . 2  |-  ( x  e.  ~H  |->  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )  =  ( x  e.  ~H  |->  ( sqr `  ( x 
.ih  x ) ) )
82, 3nvf 22148 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( normCV `  U
) : ~H --> RR )
98feqmptd 5780 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( normCV `  U
)  =  ( x  e.  ~H  |->  ( (
normCV
`  U ) `  x ) ) )
101, 9ax-mp 8 . 2  |-  ( normCV `  U )  =  ( x  e.  ~H  |->  ( ( normCV `  U ) `  x ) )
11 dfhnorm2 22625 . 2  |-  normh  =  ( x  e.  ~H  |->  ( sqr `  ( x 
.ih  x ) ) )
127, 10, 113eqtr4ri 2468 1  |-  normh  =  (
normCV
`  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653    e. wcel 1726    e. cmpt 4267   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   RRcr 8990   sqrcsqr 12039   NrmCVeccnv 22064   BaseSetcba 22066   normCVcnmcv 22070   .i OLDcdip 22197   ~Hchil 22423    .ih csp 22426   normhcno 22427
This theorem is referenced by:  hilhhi  22667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-hfi 22582
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-rp 10614  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-sum 12481  df-grpo 21780  df-gid 21781  df-ginv 21782  df-ablo 21871  df-vc 22026  df-nv 22072  df-va 22075  df-ba 22076  df-sm 22077  df-0v 22078  df-nmcv 22080  df-dip 22198  df-hnorm 22472
  Copyright terms: Public domain W3C validator