Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hine Unicode version

Theorem hine 25797
Description: The homset  ( H `
 <. A ,  A >. ) is not empty. JFM CAT1 th. 56. (Contributed by FL, 3-Jan-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
hine.1  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
hine.2  |-  H  =  ( hom `  T
)
Assertion
Ref Expression
hine  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  A  e.  O )  ->  ( H `  <. A ,  A >. )  =/=  (/) )

Proof of Theorem hine
StepHypRef Expression
1 hine.1 . . 3  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( id_ `  T )  =  ( id_ `  T )
3 hine.2 . . 3  |-  H  =  ( hom `  T
)
41, 2, 3homib 25796 . 2  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  A  e.  O )  ->  ( ( id_ `  T ) `  A
)  e.  ( H `
 <. A ,  A >. ) )
5 ne0i 3461 . 2  |-  ( ( ( id_ `  T
) `  A )  e.  ( H `  <. A ,  A >. )  ->  ( H `  <. A ,  A >. )  =/=  (/) )
64, 5syl 15 1  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  A  e.  O )  ->  ( H `  <. A ,  A >. )  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   (/)c0 3455   <.cop 3643   dom cdm 4689   ` cfv 5255   id_cid_ 25714    Cat OLD ccatOLD 25752   homchomOLD 25785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-alg 25716  df-dom_ 25717  df-cod_ 25718  df-id_ 25719  df-cmpa 25720  df-ded 25735  df-catOLD 25753  df-homOLD 25786
  Copyright terms: Public domain W3C validator