Theorem his7t 8956

Description: Distributive law for inner product. Lemma 3.1(S7) of [Beran] p. 95.

Assertion

Ref	Expression
his7t	|- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> (A .ih (B +h C)) = ((A .ih B) + (A .ih C)))

Proof of Theorem his7t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-his2 8950	. . . . 5 |- ((B e. H~ /\ C e. H~ /\ A e. H~) -> ((B +h C) .ih A) = ((B .ih A) + (C .ih A)))
2	1	fveq2d 3728	. . . 4 |- ((B e. H~ /\ C e. H~ /\ A e. H~) -> (*` ((B +h C) .ih A)) = (*` ((B .ih A) + (C .ih A))))
3		cjaddt 6812	. . . . . 6 |- (((B .ih A) e. CC /\ (C .ih A) e. CC) -> (*` ((B .ih A) + (C .ih A))) = ((*` (B .ih A)) + (*` (C .ih A))))
4		hiclt 8947	. . . . . 6 |- ((B e. H~ /\ A e. H~) -> (B .ih A) e. CC)
5		hiclt 8947	. . . . . 6 |- ((C e. H~ /\ A e. H~) -> (C .ih A) e. CC)
6	3, 4, 5	syl2an 454	. . . . 5 |- (((B e. H~ /\ A e. H~) /\ (C e. H~ /\ A e. H~)) -> (*` ((B .ih A) + (C .ih A))) = ((*` (B .ih A)) + (*` (C .ih A))))
7	6	3impdir 881	. . . 4 |- ((B e. H~ /\ C e. H~ /\ A e. H~) -> (*` ((B .ih A) + (C .ih A))) = ((*` (B .ih A)) + (*` (C .ih A))))
8	2, 7	eqtrd 1507	. . 3 |- ((B e. H~ /\ C e. H~ /\ A e. H~) -> (*` ((B +h C) .ih A)) = ((*` (B .ih A)) + (*` (C .ih A))))
9	8	3comr 841	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> (*` ((B +h C) .ih A)) = ((*` (B .ih A)) + (*` (C .ih A))))
10		ax-his1 8949	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ (B +h C) e. H~) -> (A .ih (B +h C)) = (*` ((B +h C) .ih A)))
11		hvaddclt 8882	. . . 4 |- ((B e. H~ /\ C e. H~) -> (B +h C) e. H~)
12	10, 11	sylan2 451	. . 3 |- ((A e. H~ /\ (B e. H~ /\ C e. H~)) -> (A .ih (B +h C)) = (*` ((B +h C) .ih A)))
13	12	3impb 829	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> (A .ih (B +h C)) = (*` ((B +h C) .ih A)))
14		ax-his1 8949	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A .ih B) = (*` (B .ih A)))
15	14	3adant3 799	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> (A .ih B) = (*` (B .ih A)))
16		ax-his1 8949	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ C e. H~) -> (A .ih C) = (*` (C .ih A)))
17	16	3adant2 798	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> (A .ih C) = (*` (C .ih A)))
18	15, 17	opreq12d 3978	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((A .ih B) + (A .ih C)) = ((*` (B .ih A)) + (*` (C .ih A))))
19	9, 13, 18	3eqtr4d 1517	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> (A .ih (B +h C)) = ((A .ih B) + (A .ih C)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232   + caddc 5237  *ccj 6749  H~chil 8788   +h cva 8789   .ih csp 8793

This theorem is referenced by:  normlem0 8975  normlem8 8983  pjadj 9618  lnopunilem1 9935  hmopst 9945  cnlnadjlem6 10005  adjlnopt 10019  adjaddt 10026  hstoht 10159

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hfvadd 8870  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753

Copyright terms: Public domain