Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatexch2 Structured version   Unicode version

Theorem hlatexch2 30193
Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatexchb.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlatexchb.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatexchb.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatexch2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  P  =/=  R )  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  R
)  ->  Q  .<_  ( P  .\/  R ) ) )

Proof of Theorem hlatexch2
StepHypRef Expression
1 hlcvl 30157 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CvLat )
2 hlatexchb.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 hlatexchb.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 hlatexchb.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
52, 3, 4cvlatexch2 30135 . 2  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  P  =/=  R
)  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  R
)  ->  Q  .<_  ( P  .\/  R ) ) )
61, 5syl3an1 1217 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  P  =/=  R )  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  R
)  ->  Q  .<_  ( P  .\/  R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   lecple 13536   joincjn 14401   Atomscatm 30061   CvLatclc 30063   HLchlt 30148
This theorem is referenced by:  2llnneN  30206  atexchcvrN  30237  atbtwnex  30245  3dimlem3  30258  3dimlem3OLDN  30259  3dimlem4  30261  3dimlem4OLDN  30262  hlatexch4  30278  3atlem5  30284  dalem27  30496  cdlemblem  30590  paddasslem1  30617  paddasslem6  30622  cdleme3g  31031  cdleme3h  31032  cdleme7d  31043  cdleme11c  31058  cdleme11dN  31059  cdleme36a  31257  cdlemeg46rgv  31325  cdlemk14  31651  dia2dimlem1  31862  dia2dimlem2  31863  dia2dimlem3  31864
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-join 14433  df-lat 14475  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149
  Copyright terms: Public domain W3C validator