Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatexch2 Unicode version

Theorem hlatexch2 29890
Description: Atom exchange property. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatexchb.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlatexchb.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatexchb.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatexch2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  P  =/=  R )  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  R
)  ->  Q  .<_  ( P  .\/  R ) ) )

Proof of Theorem hlatexch2
StepHypRef Expression
1 hlcvl 29854 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CvLat )
2 hlatexchb.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 hlatexchb.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 hlatexchb.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
52, 3, 4cvlatexch2 29832 . 2  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  P  =/=  R
)  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  R
)  ->  Q  .<_  ( P  .\/  R ) ) )
61, 5syl3an1 1217 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  P  =/=  R )  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  R
)  ->  Q  .<_  ( P  .\/  R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   lecple 13499   joincjn 14364   Atomscatm 29758   CvLatclc 29760   HLchlt 29845
This theorem is referenced by:  2llnneN  29903  atexchcvrN  29934  atbtwnex  29942  3dimlem3  29955  3dimlem3OLDN  29956  3dimlem4  29958  3dimlem4OLDN  29959  hlatexch4  29975  3atlem5  29981  dalem27  30193  cdlemblem  30287  paddasslem1  30314  paddasslem6  30319  cdleme3g  30728  cdleme3h  30729  cdleme7d  30740  cdleme11c  30755  cdleme11dN  30756  cdleme36a  30954  cdlemeg46rgv  31022  cdlemk14  31348  dia2dimlem1  31559  dia2dimlem2  31560  dia2dimlem3  31561
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-undef 6510  df-riota 6516  df-poset 14366  df-plt 14378  df-lub 14394  df-join 14396  df-lat 14438  df-covers 29761  df-ats 29762  df-atl 29793  df-cvlat 29817  df-hlat 29846
  Copyright terms: Public domain W3C validator