Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatjcl Unicode version

Theorem hlatjcl 29556
Description: Closure of join operation. Frequently-used special case of latjcl 14156 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatjcl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
hlatjcl.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatjcl.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatjcl  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )

Proof of Theorem hlatjcl
StepHypRef Expression
1 hllat 29553 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 hlatjcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 hlatjcl.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 29479 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  B )
52, 3atbase 29479 . 2  |-  ( Y  e.  A  ->  Y  e.  B )
6 hlatjcl.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
72, 6latjcl 14156 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
81, 4, 5, 7syl3an 1224 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   joincjn 14078   Latclat 14151   Atomscatm 29453   HLchlt 29540
This theorem is referenced by:  atcvr0eq  29615  2atjm  29634  atbtwn  29635  3dim0  29646  3dimlem3a  29649  3dimlem3OLDN  29651  3dimlem4OLDN  29654  3dim3  29658  2dim  29659  ps-1  29666  hlatexch3N  29669  hlatexch4  29670  ps-2b  29671  3atlem1  29672  3atlem2  29673  llni2  29701  llnle  29707  2at0mat0  29714  2atm  29716  islpln5  29724  lplni2  29726  lplnnle2at  29730  2atnelpln  29733  islpln2a  29737  llncvrlpln2  29746  2atmat  29750  2llnjaN  29755  islvol5  29768  lvoli2  29770  lvolnle3at  29771  3atnelvolN  29775  islvol2aN  29781  4atlem0a  29782  4atlem3  29785  4atlem3a  29786  4atlem3b  29787  4atlem4a  29788  4atlem4b  29789  4atlem4c  29790  4atlem4d  29791  4atlem9  29792  4atlem10a  29793  4atlem10  29795  4atlem11a  29796  4atlem11b  29797  4atlem11  29798  4atlem12a  29799  4atlem12b  29800  4atlem12  29801  4at  29802  4at2  29803  lplncvrlvol2  29804  2lplnja  29808  dalempjqeb  29834  dalemsjteb  29835  dalemtjueb  29836  dalemply  29843  dalem1  29848  dalemcea  29849  dalem3  29853  dalem4  29854  dalem5  29856  dalem-cly  29860  dalem17  29869  dalem21  29883  dalem24  29886  dalem25  29887  dalem27  29888  dalem38  29899  dalem39  29900  dalem43  29904  dalem44  29905  dalem45  29906  dalem55  29916  dalem56  29917  dalem57  29918  2atm2atN  29974  2llnma1b  29975  2llnma3r  29977  llnmod2i2  30052  llnexchb2lem  30057  dalawlem1  30060  dalawlem2  30061  dalawlem3  30062  dalawlem4  30063  dalawlem5  30064  dalawlem6  30065  dalawlem7  30066  dalawlem8  30067  dalawlem9  30068  dalawlem11  30070  dalawlem12  30071  dalawlem15  30074  lhp2lt  30190  lhpexle2lem  30198  lhpexle3lem  30200  lhp2at0  30221  lhp2atnle  30222  lhpat3  30235  4atexlempsb  30249  4atexlemqtb  30250  4atexlemunv  30255  4atexlemtlw  30256  4atexlemc  30258  4atexlemnclw  30259  4atexlemcnd  30261  trlval3  30376  trlval4  30377  cdlemc4  30383  cdlemc5  30384  cdlemc6  30385  cdlemd2  30388  cdleme0e  30406  cdlemeulpq  30409  cdleme01N  30410  cdleme0ex1N  30412  cdleme3g  30423  cdleme3h  30424  cdleme3  30426  cdleme4  30427  cdleme4a  30428  cdleme5  30429  cdleme7aa  30431  cdleme7c  30434  cdleme7d  30435  cdleme7e  30436  cdleme7ga  30437  cdleme7  30438  cdleme9b  30441  cdleme9  30442  cdleme10  30443  cdleme11c  30450  cdleme13  30461  cdleme15b  30464  cdleme15d  30466  cdleme15  30467  cdleme16b  30468  cdleme16e  30471  cdleme16f  30472  cdleme17b  30476  cdleme22gb  30483  cdlemedb  30486  cdlemednpq  30488  cdleme20zN  30490  cdleme20y  30491  cdleme19a  30492  cdleme19c  30494  cdleme20aN  30498  cdleme20c  30500  cdleme20d  30501  cdleme20e  30502  cdleme20j  30507  cdleme20l  30511  cdleme21c  30516  cdleme21ct  30518  cdleme22aa  30528  cdleme22b  30530  cdleme22cN  30531  cdleme22d  30532  cdleme22e  30533  cdleme22eALTN  30534  cdleme22f  30535  cdleme22g  30537  cdleme23a  30538  cdleme23b  30539  cdleme23c  30540  cdleme28a  30559  cdleme35a  30637  cdleme35fnpq  30638  cdleme35b  30639  cdleme35c  30640  cdleme35d  30641  cdleme35e  30642  cdleme35f  30643  cdleme42a  30660  cdleme42c  30661  cdleme42h  30671  cdleme42i  30672  cdlemeg46frv  30714  cdlemeg46vrg  30716  cdlemeg46rgv  30717  cdlemeg46req  30718  cdlemf1  30750  cdlemf2  30751  cdlemg2fv2  30789  cdlemg2m  30793  cdlemg4  30806  cdlemg8b  30817  cdlemg10bALTN  30825  cdlemg10c  30828  cdlemg10  30830  cdlemg12e  30836  cdlemg12f  30837  cdlemg12g  30838  cdlemg12  30839  cdlemg13a  30840  cdlemg17a  30850  cdlemg17dALTN  30853  cdlemg17h  30857  cdlemg17  30866  cdlemg18b  30868  cdlemg19a  30872  cdlemg19  30873  cdlemg27a  30881  cdlemg27b  30885  cdlemg31a  30886  cdlemg31b  30887  cdlemg33b0  30890  cdlemg33a  30895  trlcoabs2N  30911  trlcolem  30915  cdlemg42  30918  cdlemg46  30924  cdlemh1  31004  cdlemk3  31022  cdlemk10  31032  cdlemk12  31039  cdlemkole  31042  cdlemk14  31043  cdlemk15  31044  cdlemk1u  31048  cdlemk5u  31050  cdlemk12u  31061  cdlemk37  31103  cdlemk39  31105  cdlemkid1  31111  cdlemk51  31142  cdlemk52  31143  dia2dimlem1  31254  dia2dimlem2  31255  dia2dimlem3  31256  dia2dimlem10  31263  dia2dimlem12  31265  cdlemm10N  31308  cdlemn2  31385  cdlemn10  31396  dib2dim  31433  dih2dimb  31434  dih2dimbALTN  31435  dihjatcclem1  31608  dihjatcclem2  31609  dihjatcclem4  31611  dvh4dimat  31628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-lat 14152  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541
  Copyright terms: Public domain W3C validator