Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatjcom Unicode version

Theorem hlatjcom 29557
Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 14165 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatjcom.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatjcom.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatjcom  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( Y 
.\/  X ) )

Proof of Theorem hlatjcom
StepHypRef Expression
1 hllat 29553 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 hlatjcom.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 29479 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
52, 3atbase 29479 . 2  |-  ( Y  e.  A  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
6 hlatjcom.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
72, 6latjcom 14165 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  ( Y  .\/  X
) )
81, 4, 5, 7syl3an 1224 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( Y 
.\/  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   joincjn 14078   Latclat 14151   Atomscatm 29453   HLchlt 29540
This theorem is referenced by:  hlatj12  29560  hlatjrot  29562  hlatlej2  29565  atbtwnex  29637  3noncolr2  29638  hlatcon2  29641  3dimlem2  29648  3dimlem3  29650  3dimlem3OLDN  29651  3dimlem4  29653  3dimlem4OLDN  29654  ps-1  29666  hlatexch4  29670  lplnribN  29740  4atlem10  29795  4atlem11  29798  dalemswapyz  29845  dalem-cly  29860  dalemswapyzps  29879  dalem24  29886  dalem25  29887  dalem44  29905  2llnma1  29976  2llnma3r  29977  2llnma2rN  29979  llnexchb2  30058  dalawlem4  30063  dalawlem5  30064  dalawlem9  30068  dalawlem11  30070  dalawlem12  30071  dalawlem15  30074  4atexlemex2  30260  4atexlemcnd  30261  ltrncnv  30335  trlcnv  30354  cdlemc6  30385  cdleme7aa  30431  cdleme12  30460  cdleme15a  30463  cdleme15c  30465  cdleme17c  30477  cdlemeda  30487  cdleme20y  30491  cdleme19a  30492  cdleme19e  30496  cdleme20bN  30499  cdleme20g  30504  cdleme20m  30512  cdleme21c  30516  cdleme22f  30535  cdleme22g  30537  cdleme35b  30639  cdleme35f  30643  cdleme37m  30651  cdleme39a  30654  cdleme42h  30671  cdleme43aN  30678  cdleme43bN  30679  cdleme43dN  30681  cdleme46f2g2  30682  cdleme46f2g1  30683  cdlemeg46c  30702  cdlemeg46nlpq  30706  cdlemeg46ngfr  30707  cdlemeg46rgv  30717  cdlemeg46gfv  30719  cdlemg2kq  30791  cdlemg4a  30797  cdlemg4d  30802  cdlemg4  30806  cdlemg8c  30818  cdlemg11aq  30827  cdlemg10a  30829  cdlemg12g  30838  cdlemg12  30839  cdlemg13  30841  cdlemg17pq  30861  cdlemg18b  30868  cdlemg18c  30869  cdlemg19  30873  cdlemg21  30875  cdlemk7  31037  cdlemk7u  31059  cdlemkfid1N  31110  dia2dimlem1  31254  dia2dimlem3  31256  dihjatcclem3  31610  dihjat  31613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-join 14110  df-lat 14152  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541
  Copyright terms: Public domain W3C validator