Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatjcom Unicode version

Theorem hlatjcom 30179
Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 14181 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatjcom.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatjcom.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatjcom  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( Y 
.\/  X ) )

Proof of Theorem hlatjcom
StepHypRef Expression
1 hllat 30175 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 eqid 2296 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 hlatjcom.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 30101 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
52, 3atbase 30101 . 2  |-  ( Y  e.  A  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
6 hlatjcom.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
72, 6latjcom 14181 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  ( Y  .\/  X
) )
81, 4, 5, 7syl3an 1224 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( Y 
.\/  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   joincjn 14094   Latclat 14167   Atomscatm 30075   HLchlt 30162
This theorem is referenced by:  hlatj12  30182  hlatjrot  30184  hlatlej2  30187  atbtwnex  30259  3noncolr2  30260  hlatcon2  30263  3dimlem2  30270  3dimlem3  30272  3dimlem3OLDN  30273  3dimlem4  30275  3dimlem4OLDN  30276  ps-1  30288  hlatexch4  30292  lplnribN  30362  4atlem10  30417  4atlem11  30420  dalemswapyz  30467  dalem-cly  30482  dalemswapyzps  30501  dalem24  30508  dalem25  30509  dalem44  30527  2llnma1  30598  2llnma3r  30599  2llnma2rN  30601  llnexchb2  30680  dalawlem4  30685  dalawlem5  30686  dalawlem9  30690  dalawlem11  30692  dalawlem12  30693  dalawlem15  30696  4atexlemex2  30882  4atexlemcnd  30883  ltrncnv  30957  trlcnv  30976  cdlemc6  31007  cdleme7aa  31053  cdleme12  31082  cdleme15a  31085  cdleme15c  31087  cdleme17c  31099  cdlemeda  31109  cdleme20y  31113  cdleme19a  31114  cdleme19e  31118  cdleme20bN  31121  cdleme20g  31126  cdleme20m  31134  cdleme21c  31138  cdleme22f  31157  cdleme22g  31159  cdleme35b  31261  cdleme35f  31265  cdleme37m  31273  cdleme39a  31276  cdleme42h  31293  cdleme43aN  31300  cdleme43bN  31301  cdleme43dN  31303  cdleme46f2g2  31304  cdleme46f2g1  31305  cdlemeg46c  31324  cdlemeg46nlpq  31328  cdlemeg46ngfr  31329  cdlemeg46rgv  31339  cdlemeg46gfv  31341  cdlemg2kq  31413  cdlemg4a  31419  cdlemg4d  31424  cdlemg4  31428  cdlemg8c  31440  cdlemg11aq  31449  cdlemg10a  31451  cdlemg12g  31460  cdlemg12  31461  cdlemg13  31463  cdlemg17pq  31483  cdlemg18b  31490  cdlemg18c  31491  cdlemg19  31495  cdlemg21  31497  cdlemk7  31659  cdlemk7u  31681  cdlemkfid1N  31732  dia2dimlem1  31876  dia2dimlem3  31878  dihjatcclem3  32232  dihjat  32235
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-join 14126  df-lat 14168  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163
  Copyright terms: Public domain W3C validator