Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatjcom Structured version   Unicode version

Theorem hlatjcom 30165
Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 14488 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatjcom.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatjcom.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatjcom  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( Y 
.\/  X ) )

Proof of Theorem hlatjcom
StepHypRef Expression
1 hllat 30161 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 eqid 2436 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 hlatjcom.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 30087 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
52, 3atbase 30087 . 2  |-  ( Y  e.  A  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
6 hlatjcom.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
72, 6latjcom 14488 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  ( Y  .\/  X
) )
81, 4, 5, 7syl3an 1226 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( Y 
.\/  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   joincjn 14401   Latclat 14474   Atomscatm 30061   HLchlt 30148
This theorem is referenced by:  hlatj12  30168  hlatjrot  30170  hlatlej2  30173  atbtwnex  30245  3noncolr2  30246  hlatcon2  30249  3dimlem2  30256  3dimlem3  30258  3dimlem3OLDN  30259  3dimlem4  30261  3dimlem4OLDN  30262  ps-1  30274  hlatexch4  30278  lplnribN  30348  4atlem10  30403  4atlem11  30406  dalemswapyz  30453  dalem-cly  30468  dalemswapyzps  30487  dalem24  30494  dalem25  30495  dalem44  30513  2llnma1  30584  2llnma3r  30585  2llnma2rN  30587  llnexchb2  30666  dalawlem4  30671  dalawlem5  30672  dalawlem9  30676  dalawlem11  30678  dalawlem12  30679  dalawlem15  30682  4atexlemex2  30868  4atexlemcnd  30869  ltrncnv  30943  trlcnv  30962  cdlemc6  30993  cdleme7aa  31039  cdleme12  31068  cdleme15a  31071  cdleme15c  31073  cdleme17c  31085  cdlemeda  31095  cdleme20y  31099  cdleme19a  31100  cdleme19e  31104  cdleme20bN  31107  cdleme20g  31112  cdleme20m  31120  cdleme21c  31124  cdleme22f  31143  cdleme22g  31145  cdleme35b  31247  cdleme35f  31251  cdleme37m  31259  cdleme39a  31262  cdleme42h  31279  cdleme43aN  31286  cdleme43bN  31287  cdleme43dN  31289  cdleme46f2g2  31290  cdleme46f2g1  31291  cdlemeg46c  31310  cdlemeg46nlpq  31314  cdlemeg46ngfr  31315  cdlemeg46rgv  31325  cdlemeg46gfv  31327  cdlemg2kq  31399  cdlemg4a  31405  cdlemg4d  31410  cdlemg4  31414  cdlemg8c  31426  cdlemg11aq  31435  cdlemg10a  31437  cdlemg12g  31446  cdlemg12  31447  cdlemg13  31449  cdlemg17pq  31469  cdlemg18b  31476  cdlemg18c  31477  cdlemg19  31481  cdlemg21  31483  cdlemk7  31645  cdlemk7u  31667  cdlemkfid1N  31718  dia2dimlem1  31862  dia2dimlem3  31864  dihjatcclem3  32218  dihjat  32221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-join 14433  df-lat 14475  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149
  Copyright terms: Public domain W3C validator