Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatlej1 Unicode version

Theorem hlatlej1 30186
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 14182 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlatlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatlej.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatlej1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem hlatlej1
StepHypRef Expression
1 hllat 30175 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 eqid 2296 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 hlatlej.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 30101 . 2  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
52, 3atbase 30101 . 2  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
6 hlatlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
7 hlatlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
82, 6, 7latlej1 14182 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q
) )
91, 4, 5, 8syl3an 1224 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   Latclat 14167   Atomscatm 30075   HLchlt 30162
This theorem is referenced by:  hlatlej2  30187  cvratlem  30232  cvrat4  30254  ps-2  30289  lplnllnneN  30367  dalem1  30470  lnatexN  30590  lncmp  30594  2atm2atN  30596  2llnma3r  30599  dalawlem3  30684  dalawlem6  30687  dalawlem7  30688  dalawlem12  30693  trlval4  30999  cdlemc5  31006  cdlemc6  31007  cdlemd3  31011  cdleme0cp  31025  cdleme3h  31046  cdleme5  31051  cdleme9  31064  cdleme11c  31072  cdleme15b  31086  cdleme17b  31098  cdleme19a  31114  cdleme20c  31122  cdleme20j  31129  cdleme21c  31138  cdleme22b  31152  cdleme22d  31154  cdleme22e  31155  cdleme22eALTN  31156  cdleme35e  31264  cdleme35f  31265  cdleme42a  31282  cdleme17d2  31306  cdlemeg46req  31340  cdlemg13a  31462  cdlemg17a  31472  cdlemg18b  31490  cdlemg27a  31503  trlcoabs2N  31533  cdlemg42  31540  cdlemk4  31645  cdlemk1u  31670  cdlemk39  31727  dia2dimlem1  31876  dia2dimlem2  31877  dia2dimlem3  31878  cdlemm10N  31930  cdlemn10  32018  dihjatcclem1  32230
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-lub 14124  df-join 14126  df-lat 14168  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163
  Copyright terms: Public domain W3C validator