Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatlej1 Structured version   Unicode version

Theorem hlatlej1 30173
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 14490 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlatlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatlej.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatlej1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem hlatlej1
StepHypRef Expression
1 hllat 30162 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 eqid 2437 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 hlatlej.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 30088 . 2  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
52, 3atbase 30088 . 2  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
6 hlatlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
7 hlatlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
82, 6, 7latlej1 14490 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q
) )
91, 4, 5, 8syl3an 1227 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   lecple 13537   joincjn 14402   Latclat 14475   Atomscatm 30062   HLchlt 30149
This theorem is referenced by:  hlatlej2  30174  cvratlem  30219  cvrat4  30241  ps-2  30276  lplnllnneN  30354  dalem1  30457  lnatexN  30577  lncmp  30581  2atm2atN  30583  2llnma3r  30586  dalawlem3  30671  dalawlem6  30674  dalawlem7  30675  dalawlem12  30680  trlval4  30986  cdlemc5  30993  cdlemc6  30994  cdlemd3  30998  cdleme0cp  31012  cdleme3h  31033  cdleme5  31038  cdleme9  31051  cdleme11c  31059  cdleme15b  31073  cdleme17b  31085  cdleme19a  31101  cdleme20c  31109  cdleme20j  31116  cdleme21c  31125  cdleme22b  31139  cdleme22d  31141  cdleme22e  31142  cdleme22eALTN  31143  cdleme35e  31251  cdleme35f  31252  cdleme42a  31269  cdleme17d2  31293  cdlemeg46req  31327  cdlemg13a  31449  cdlemg17a  31459  cdlemg18b  31477  cdlemg27a  31490  trlcoabs2N  31520  cdlemg42  31527  cdlemk4  31632  cdlemk1u  31657  cdlemk39  31714  dia2dimlem1  31863  dia2dimlem2  31864  dia2dimlem3  31865  cdlemm10N  31917  cdlemn10  32005  dihjatcclem1  32217
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-undef 6544  df-riota 6550  df-lub 14432  df-join 14434  df-lat 14476  df-ats 30066  df-atl 30097  df-cvlat 30121  df-hlat 30150
  Copyright terms: Public domain W3C validator