Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatlej1 Unicode version

Theorem hlatlej1 29564
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 14166 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlatlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatlej.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatlej1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem hlatlej1
StepHypRef Expression
1 hllat 29553 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 hlatlej.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 29479 . 2  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
52, 3atbase 29479 . 2  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
6 hlatlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
7 hlatlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
82, 6, 7latlej1 14166 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q
) )
91, 4, 5, 8syl3an 1224 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   Latclat 14151   Atomscatm 29453   HLchlt 29540
This theorem is referenced by:  hlatlej2  29565  cvratlem  29610  cvrat4  29632  ps-2  29667  lplnllnneN  29745  dalem1  29848  lnatexN  29968  lncmp  29972  2atm2atN  29974  2llnma3r  29977  dalawlem3  30062  dalawlem6  30065  dalawlem7  30066  dalawlem12  30071  trlval4  30377  cdlemc5  30384  cdlemc6  30385  cdlemd3  30389  cdleme0cp  30403  cdleme3h  30424  cdleme5  30429  cdleme9  30442  cdleme11c  30450  cdleme15b  30464  cdleme17b  30476  cdleme19a  30492  cdleme20c  30500  cdleme20j  30507  cdleme21c  30516  cdleme22b  30530  cdleme22d  30532  cdleme22e  30533  cdleme22eALTN  30534  cdleme35e  30642  cdleme35f  30643  cdleme42a  30660  cdleme17d2  30684  cdlemeg46req  30718  cdlemg13a  30840  cdlemg17a  30850  cdlemg18b  30868  cdlemg27a  30881  trlcoabs2N  30911  cdlemg42  30918  cdlemk4  31023  cdlemk1u  31048  cdlemk39  31105  dia2dimlem1  31254  dia2dimlem2  31255  dia2dimlem3  31256  cdlemm10N  31308  cdlemn10  31396  dihjatcclem1  31608
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-lub 14108  df-join 14110  df-lat 14152  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541
  Copyright terms: Public domain W3C validator