Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatlej2 Structured version   Unicode version

Theorem hlatlej2 30110
Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 14482 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlatlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlatlej.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlatlej2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem hlatlej2
StepHypRef Expression
1 hlatlej.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 hlatlej.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 hlatlej.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 2, 3hlatlej1 30109 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  P ) )
543com23 1159 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( Q  .\/  P ) )
62, 3hlatjcom 30102 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  =  ( Q 
.\/  P ) )
75, 6breqtrrd 4230 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   lecple 13528   joincjn 14393   Atomscatm 29998   HLchlt 30085
This theorem is referenced by:  2llnne2N  30142  cvrat3  30176  cvrat4  30177  hlatexch3N  30214  hlatexch4  30215  dalem3  30398  dalem25  30432  lnatexN  30513  lncmp  30517  2llnma3r  30522  paddasslem5  30558  dalawlem3  30607  dalawlem6  30610  dalawlem7  30611  dalawlem12  30616  lhp2atne  30768  lhp2at0ne  30770  4atexlemunv  30800  cdlemc2  30926  cdlemc5  30929  cdleme3h  30969  cdleme7  30983  cdleme9  30987  cdleme11c  30995  cdleme11dN  30996  cdleme11j  31001  cdleme16b  31013  cdleme17b  31021  cdleme18a  31025  cdleme18b  31026  cdleme18c  31027  cdleme20y  31036  cdleme19a  31037  cdleme20d  31046  cdleme20j  31052  cdleme21ct  31063  cdleme22a  31074  cdleme22e  31078  cdleme22eALTN  31079  cdleme35b  31184  cdlemg9a  31366  cdlemg12a  31377  cdlemg13a  31385  cdlemg17a  31395  cdlemg17g  31401  cdlemg18c  31414  cdlemg33b0  31435  cdlemg46  31469  cdlemh1  31549  cdlemh  31551  cdlemk4  31568  cdlemki  31575  cdlemksv2  31581  cdlemk12  31584  cdlemk15  31589  cdlemk12u  31606  cdlemkid1  31656  dia2dimlem1  31799  dia2dimlem3  31801  cdlemn10  31941  dihjatcclem1  32153
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-lub 14423  df-join 14425  df-lat 14467  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086
  Copyright terms: Public domain W3C validator