Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlexchb2 Unicode version

Theorem hlexchb2 29501
Description: A Hilbert lattice has the exchange property. (Contributed by NM, 22-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlsuprexch.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
hlsuprexch.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlsuprexch.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlsuprexch.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlexchb2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  -.  P  .<_  X )  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  X )  <->  ( P  .\/  X )  =  ( Q 
.\/  X ) ) )

Proof of Theorem hlexchb2
StepHypRef Expression
1 hlcvl 29476 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CvLat )
2 hlsuprexch.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 hlsuprexch.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 hlsuprexch.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
5 hlsuprexch.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
62, 3, 4, 5cvlexchb2 29448 . 2  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  X  e.  B )  /\  -.  P  .<_  X )  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  X )  <-> 
( P  .\/  X
)  =  ( Q 
.\/  X ) ) )
71, 6syl3an1 1217 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  -.  P  .<_  X )  ->  ( P  .<_  ( Q  .\/  X )  <->  ( P  .\/  X )  =  ( Q 
.\/  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   lecple 13465   joincjn 14330   Atomscatm 29380   CvLatclc 29382   HLchlt 29467
This theorem is referenced by:  3atlem1  29599  3atlem2  29600  4atlem9  29719  4atlem10a  29720  4atlem11a  29723  4atlem12a  29726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-undef 6481  df-riota 6487  df-poset 14332  df-lub 14360  df-join 14362  df-lat 14404  df-ats 29384  df-atl 29415  df-cvlat 29439  df-hlat 29468
  Copyright terms: Public domain W3C validator