MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlhil Structured version   Unicode version

Theorem hlhil 19344
Description: Corollary of the Projection Theorem: A complex Hilbert space is a Hilbert space (in the algebraic sense, meaning that all algebraically closed subspaces have a projection decomposition). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
hlhil  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e. 
Hil )

Proof of Theorem hlhil
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlphl 19319 . 2  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e. 
PreHil )
2 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( proj `  W )  =  (
proj `  W )
3 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( CSubSp `  W )  =  (
CSubSp `  W )
42, 3pjcss 16943 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil  ->  dom  ( proj `  W )  C_  ( CSubSp `
 W ) )
51, 4syl 16 . . 3  |-  ( W  e.  CHil  ->  dom  ( proj `  W )  C_  ( CSubSp `  W )
)
6 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
7 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  W )  =  (
TopOpen `  W )
8 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
96, 7, 8, 3cldcss2 19343 . . . 4  |-  ( W  e.  CHil  ->  ( CSubSp `  W )  =  ( ( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) ) )
10 elin 3530 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen `  W
) ) )  <->  ( x  e.  ( LSubSp `  W )  /\  x  e.  ( Clsd `  ( TopOpen `  W
) ) ) )
117, 8, 2pjth2 19341 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CHil  /\  x  e.  ( LSubSp `  W )  /\  x  e.  ( Clsd `  ( TopOpen `  W
) ) )  ->  x  e.  dom  ( proj `  W ) )
12113expib 1156 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CHil  ->  ( ( x  e.  ( LSubSp `  W )  /\  x  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) )  ->  x  e.  dom  ( proj `  W
) ) )
1310, 12syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( W  e.  CHil  ->  ( x  e.  ( ( LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen `  W
) ) )  ->  x  e.  dom  ( proj `  W ) ) )
1413ssrdv 3354 . . . 4  |-  ( W  e.  CHil  ->  ( (
LSubSp `  W )  i^i  ( Clsd `  ( TopOpen
`  W ) ) )  C_  dom  ( proj `  W ) )
159, 14eqsstrd 3382 . . 3  |-  ( W  e.  CHil  ->  ( CSubSp `  W )  C_  dom  ( proj `  W )
)
165, 15eqssd 3365 . 2  |-  ( W  e.  CHil  ->  dom  ( proj `  W )  =  ( CSubSp `  W )
)
172, 3ishil 16945 . 2  |-  ( W  e.  Hil  <->  ( W  e.  PreHil  /\  dom  ( proj `  W )  =  (
CSubSp `  W ) ) )
181, 16, 17sylanbrc 646 1  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e. 
Hil )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3319    C_ wss 3320   dom cdm 4878   ` cfv 5454   Basecbs 13469   TopOpenctopn 13649   LSubSpclss 16008   PreHilcphl 16855   CSubSpccss 16888   projcpj 16927   Hilchs 16928   Clsdccld 17080   CHilchl 19287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-lsm 15270  df-pj1 15271  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-rnghom 15819  df-drng 15837  df-subrg 15866  df-staf 15933  df-srng 15934  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lmhm 16098  df-lvec 16175  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-phl 16857  df-ipf 16858  df-ocv 16890  df-css 16891  df-pj 16930  df-hil 16931  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-t1 17378  df-haus 17379  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-flim 17971  df-fcls 17973  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-nm 18630  df-ngp 18631  df-tng 18632  df-nlm 18634  df-cncf 18908  df-clm 19088  df-cph 19131  df-tch 19132  df-cfil 19208  df-cmet 19210  df-cms 19288  df-bn 19289  df-hl 19290
  Copyright terms: Public domain W3C validator