Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilbase Structured version   Unicode version

Theorem hlhilbase 32674
Description: The base set of the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilbase.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilbase.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilbase.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilbase.l  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hlhilbase.m  |-  M  =  ( Base `  L
)
Assertion
Ref Expression
hlhilbase  |-  ( ph  ->  M  =  ( Base `  U ) )

Proof of Theorem hlhilbase
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilbase.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilbase.u . . . 4  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
3 hlhilbase.l . . . 4  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 hlhilbase.m . . . 4  |-  M  =  ( Base `  L
)
5 eqid 2435 . . . 4  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
6 eqid 2435 . . . 4  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  =  ( ( EDRing `  K ) `  W )
7 eqid 2435 . . . 4  |-  ( (HGMap `  K ) `  W
)  =  ( (HGMap `  K ) `  W
)
8 eqid 2435 . . . 4  |-  ( ( ( EDRing `  K ) `  W ) sSet  <. (
* r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )
9 eqid 2435 . . . 4  |-  ( .s
`  L )  =  ( .s `  L
)
10 eqid 2435 . . . 4  |-  ( (HDMap `  K ) `  W
)  =  ( (HDMap `  K ) `  W
)
11 eqid 2435 . . . 4  |-  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K
) `  W ) `  y ) `  x
) )  =  ( x  e.  M , 
y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W
) `  y ) `  x ) )
12 hlhilbase.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hlhilset 32672 . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  M >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) )
1413fveq2d 5724 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  U
)  =  ( Base `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  M >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) ) )
15 fvex 5734 . . . 4  |-  ( Base `  L )  e.  _V
164, 15eqeltri 2505 . . 3  |-  M  e. 
_V
17 eqid 2435 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  M >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  M >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } )
1817phlbase 13601 . . 3  |-  ( M  e.  _V  ->  M  =  ( Base `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  M >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) ) )
1916, 18ax-mp 8 . 2  |-  M  =  ( Base `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  M >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  M ,  y  e.  M  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) )
2014, 19syl6reqr 2486 1  |-  ( ph  ->  M  =  ( Base `  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    u. cun 3310   {cpr 3807   {ctp 3808   <.cop 3809   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   ndxcnx 13458   sSet csts 13459   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   * rcstv 13523  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   .icip 13526   HLchlt 30085   LHypclh 30718   EDRingcedring 31487   DVecHcdvh 31813  HDMapchdma 32528  HGMapchg 32621  HLHilchlh 32670
This theorem is referenced by:  hlhillvec  32689  hlhil0  32693  hlhillsm  32694  hlhilocv  32695  hlhillcs  32696  hlhilphllem  32697  hlhilhillem  32698
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-ip 13539  df-hlhil 32671
  Copyright terms: Public domain W3C validator