Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilip Unicode version

Theorem hlhilip 32438
Description: Inner product operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilip.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilip.l  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hlhilip.v  |-  V  =  ( Base `  L
)
hlhilip.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hlhilip.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilip.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilip.p  |-  .,  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `  x
) )
Assertion
Ref Expression
hlhilip  |-  ( ph  ->  .,  =  ( .i
`  U ) )
Distinct variable groups:    x, y, K    ph, x, y    x, S, y    x, V, y   
x, W, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)    H( x, y)    ., ( x, y)    L( x, y)

Proof of Theorem hlhilip
StepHypRef Expression
1 hlhilip.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilip.u . . . 4  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
3 hlhilip.l . . . 4  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 hlhilip.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  L
)
5 eqid 2408 . . . 4  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
6 eqid 2408 . . . 4  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  =  ( ( EDRing `  K ) `  W )
7 eqid 2408 . . . 4  |-  ( (HGMap `  K ) `  W
)  =  ( (HGMap `  K ) `  W
)
8 eqid 2408 . . . 4  |-  ( ( ( EDRing `  K ) `  W ) sSet  <. (
* r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )
9 eqid 2408 . . . 4  |-  ( .s
`  L )  =  ( .s `  L
)
10 hlhilip.s . . . 4  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
11 hlhilip.p . . . 4  |-  .,  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `  x
) )
12 hlhilip.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hlhilset 32424 . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  V >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) )
1413fveq2d 5695 . 2  |-  ( ph  ->  ( .i `  U
)  =  ( .i
`  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  V >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) ) )
15 fvex 5705 . . . . . 6  |-  ( Base `  L )  e.  _V
164, 15eqeltri 2478 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
1716, 16mpt2ex 6388 . . . 4  |-  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) )  e.  _V
1811, 17eqeltri 2478 . . 3  |-  .,  e.  _V
19 eqid 2408 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  V >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  V >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } )
2019phlip 13572 . . 3  |-  (  .,  e.  _V  ->  .,  =  ( .i `  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  V >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) ) )
2118, 20ax-mp 8 . 2  |-  .,  =  ( .i `  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  V >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) )
2214, 21syl6reqr 2459 1  |-  ( ph  ->  .,  =  ( .i
`  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2920    u. cun 3282   {cpr 3779   {ctp 3780   <.cop 3781   ` cfv 5417  (class class class)co 6044    e. cmpt2 6046   ndxcnx 13425   sSet csts 13426   Basecbs 13428   +g cplusg 13488   * rcstv 13490  Scalarcsca 13491   .scvsca 13492   .icip 13493   HLchlt 29837   LHypclh 30470   EDRingcedring 31239   DVecHcdvh 31565  HDMapchdma 32280  HGMapchg 32373  HLHilchlh 32422
This theorem is referenced by:  hlhilipval  32439
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-plusg 13501  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-ip 13506  df-hlhil 32423
  Copyright terms: Public domain W3C validator