Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilip Unicode version

Theorem hlhilip 32193
Description: Inner product operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilip.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilip.l  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hlhilip.v  |-  V  =  ( Base `  L
)
hlhilip.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hlhilip.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilip.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilip.p  |-  .,  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `  x
) )
Assertion
Ref Expression
hlhilip  |-  ( ph  ->  .,  =  ( .i
`  U ) )
Distinct variable groups:    x, y, K    ph, x, y    x, S, y    x, V, y   
x, W, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)    H( x, y)    ., ( x, y)    L( x, y)

Proof of Theorem hlhilip
StepHypRef Expression
1 hlhilip.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilip.u . . . 4  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
3 hlhilip.l . . . 4  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 hlhilip.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  L
)
5 eqid 2358 . . . 4  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
6 eqid 2358 . . . 4  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  =  ( ( EDRing `  K ) `  W )
7 eqid 2358 . . . 4  |-  ( (HGMap `  K ) `  W
)  =  ( (HGMap `  K ) `  W
)
8 eqid 2358 . . . 4  |-  ( ( ( EDRing `  K ) `  W ) sSet  <. (
* r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )
9 eqid 2358 . . . 4  |-  ( .s
`  L )  =  ( .s `  L
)
10 hlhilip.s . . . 4  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
11 hlhilip.p . . . 4  |-  .,  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `  x
) )
12 hlhilip.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hlhilset 32179 . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  V >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) )
1413fveq2d 5609 . 2  |-  ( ph  ->  ( .i `  U
)  =  ( .i
`  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  V >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) ) )
15 fvex 5619 . . . . . 6  |-  ( Base `  L )  e.  _V
164, 15eqeltri 2428 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
1716, 16mpt2ex 6282 . . . 4  |-  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) )  e.  _V
1811, 17eqeltri 2428 . . 3  |-  .,  e.  _V
19 eqid 2358 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  V >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  V >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } )
2019phlip 13383 . . 3  |-  (  .,  e.  _V  ->  .,  =  ( .i `  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  V >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) ) )
2118, 20ax-mp 8 . 2  |-  .,  =  ( .i `  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  V >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  L ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  .,  >. } ) )
2214, 21syl6reqr 2409 1  |-  ( ph  ->  .,  =  ( .i
`  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864    u. cun 3226   {cpr 3717   {ctp 3718   <.cop 3719   ` cfv 5334  (class class class)co 5942    e. cmpt2 5944   ndxcnx 13236   sSet csts 13237   Basecbs 13239   +g cplusg 13299   * rcstv 13301  Scalarcsca 13302   .scvsca 13303   .icip 13304   HLchlt 29592   LHypclh 30225   EDRingcedring 30994   DVecHcdvh 31320  HDMapchdma 32035  HGMapchg 32128  HLHilchlh 32177
This theorem is referenced by:  hlhilipval  32194
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-fz 10872  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-plusg 13312  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-ip 13317  df-hlhil 32178
  Copyright terms: Public domain W3C validator