Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilipval Unicode version

Theorem hlhilipval 32447
Description: Value of inner product operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilip.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilip.l  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hlhilip.v  |-  V  =  ( Base `  L
)
hlhilip.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hlhilip.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilip.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilip.i  |-  .,  =  ( .i `  U )
hlhilip.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hlhilip.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hlhilipval  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  =  ( ( S `  Y ) `
 X ) )

Proof of Theorem hlhilipval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilip.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilip.l . . . . 5  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hlhilip.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  L
)
4 hlhilip.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
5 hlhilip.u . . . . 5  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
6 hlhilip.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) )  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `
 y ) `  x ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7hlhilip 32446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `  x
) )  =  ( .i `  U ) )
9 hlhilip.i . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  U )
108, 9syl6reqr 2463 . . 3  |-  ( ph  ->  .,  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) ) )
1110oveqd 6065 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  =  ( X ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `  x
) ) Y ) )
12 hlhilip.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
13 hlhilip.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
14 fveq2 5695 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( S `  y
) `  x )  =  ( ( S `
 y ) `  X ) )
15 fveq2 5695 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( S `  y )  =  ( S `  Y ) )
1615fveq1d 5697 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( S `  y
) `  X )  =  ( ( S `
 Y ) `  X ) )
17 fvex 5709 . . . 4  |-  ( ( S `  Y ) `
 X )  e. 
_V
1814, 16, 7, 17ovmpt2 6176 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) ) Y )  =  ( ( S `  Y
) `  X )
)
1912, 13, 18syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) ) Y )  =  ( ( S `  Y
) `  X )
)
2011, 19eqtrd 2444 1  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  =  ( ( S `  Y ) `
 X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    e. cmpt2 6050   Basecbs 13432   .icip 13497   HLchlt 29845   LHypclh 30478   DVecHcdvh 31573  HDMapchdma 32288  HLHilchlh 32430
This theorem is referenced by:  hlhilocv  32455  hlhilphllem  32457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-plusg 13505  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-ip 13510  df-hlhil 32431
  Copyright terms: Public domain W3C validator