Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilipval Unicode version

Theorem hlhilipval 32142
Description: Value of inner product operation for the final constructed Hilbert space.. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilip.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilip.l  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hlhilip.v  |-  V  =  ( Base `  L
)
hlhilip.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hlhilip.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilip.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilip.i  |-  .,  =  ( .i `  U )
hlhilip.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hlhilip.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hlhilipval  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  =  ( ( S `  Y ) `
 X ) )

Proof of Theorem hlhilipval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilip.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilip.l . . . . 5  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hlhilip.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  L
)
4 hlhilip.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
5 hlhilip.u . . . . 5  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
6 hlhilip.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) )  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `
 y ) `  x ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7hlhilip 32141 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `  x
) )  =  ( .i `  U ) )
9 hlhilip.i . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  U )
108, 9syl6reqr 2334 . . 3  |-  ( ph  ->  .,  =  ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) ) )
1110oveqd 5875 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  =  ( X ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `  x
) ) Y ) )
12 hlhilip.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
13 hlhilip.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
14 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( S `  y
) `  x )  =  ( ( S `
 y ) `  X ) )
15 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( S `  y )  =  ( S `  Y ) )
1615fveq1d 5527 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( S `  y
) `  X )  =  ( ( S `
 Y ) `  X ) )
17 fvex 5539 . . . 4  |-  ( ( S `  Y ) `
 X )  e. 
_V
1814, 16, 7, 17ovmpt2 5983 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) ) Y )  =  ( ( S `  Y
) `  X )
)
1912, 13, 18syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( x  e.  V ,  y  e.  V  |->  ( ( S `  y ) `
 x ) ) Y )  =  ( ( S `  Y
) `  X )
)
2011, 19eqtrd 2315 1  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  =  ( ( S `  Y ) `
 X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Basecbs 13148   .icip 13213   HLchlt 29540   LHypclh 30173   DVecHcdvh 31268  HDMapchdma 31983  HLHilchlh 32125
This theorem is referenced by:  hlhilocv  32150  hlhilphllem  32152
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-ip 13226  df-hlhil 32126
  Copyright terms: Public domain W3C validator