Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhillcs Unicode version

Theorem hlhillcs 32444
Description: The closed subspaces of the final constructed Hilbert space. TODO: hlhilbase 32422 is applied over and over to conclusion rather than applied once to antecedent - would compressed proof be shorter if applied once to antecedent? (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhillcs.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhillcs.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
hlhillcs.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhillcs.c  |-  C  =  ( CSubSp `  U )
hlhillcs.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
hlhillcs  |-  ( ph  ->  C  =  ran  I
)

Proof of Theorem hlhillcs
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhillcs.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
2 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( (HLHil `  K ) `  W
)  e.  _V
31, 2eqeltri 2474 . . . . . 6  |-  U  e. 
_V
4 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( ocv `  U )  =  ( ocv `  U )
5 hlhillcs.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( CSubSp `  U )
64, 5iscss 16865 . . . . . 6  |-  ( U  e.  _V  ->  (
x  e.  C  <->  x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) ) ) )
73, 6mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  <->  x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
) ) )
87biimpa 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
) )
9 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
109, 5cssss 16867 . . . . 5  |-  ( x  e.  C  ->  x  C_  ( Base `  U
) )
11 hlhillcs.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
12 hlhillcs.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
13 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
14 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
15 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
16 hlhillcs.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1716adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1811, 1, 16, 13, 14hlhilbase 32422 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )  =  ( Base `  U
) )
1918sseq2d 3336 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) )  <->  x  C_  ( Base `  U ) ) )
2019biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  x  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )
2111, 12, 13, 14, 15, 17, 20dochoccl 31852 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( x  e. 
ran  I  <->  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
22 eqcom 2406 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
)  <->  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
)  =  x )
2311, 13, 1, 17, 14, 15, 4, 20hlhilocv 32443 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ocv `  U ) `  x
)  =  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )
2423fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
)  =  ( ( ocv `  U ) `
 ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  x ) ) )
2511, 13, 14, 15dochssv 31838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )  -> 
( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
2617, 20, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  x )  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )
2711, 13, 1, 17, 14, 15, 4, 26hlhilocv 32443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ocv `  U ) `  (
( ( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) ) )
2824, 27eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
)  =  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
) )
2928eqeq1d 2412 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ( ocv `  U ) `
 ( ( ocv `  U ) `  x
) )  =  x  <-> 
( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x ) )
3022, 29syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  <->  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
3121, 30bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( x  e. 
ran  I  <->  x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) ) ) )
3210, 31sylan2 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  ran  I  <->  x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
) ) )
338, 32mpbird 224 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ran  I )
34 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  x  e.  ran  I )
3516adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3611, 13, 12, 14dihrnss 31761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  x  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
3716, 36sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  x  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
3811, 13, 1, 35, 14, 15, 4, 37hlhilocv 32443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ocv `  U
) `  x )  =  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  x ) )
3938fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  =  ( ( ocv `  U
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) ) )
4035, 37, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ( ocH `  K
) `  W ) `  x )  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )
4111, 13, 1, 35, 14, 15, 4, 40hlhilocv 32443 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ocv `  U
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) ) )
4239, 41eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) ) )
4342eqeq1d 2412 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  =  x  <->  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
4443biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  I )  /\  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x )  ->  (
( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  =  x )
4544eqcomd 2409 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  I )  /\  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x )  ->  x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
) )
4645ex 424 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x  ->  x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) ) ) )
4711, 12, 13, 14, 15, 35, 37dochoccl 31852 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
x  e.  ran  I  <->  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
483, 6mp1i 12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
x  e.  C  <->  x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) ) ) )
4946, 47, 483imtr4d 260 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
x  e.  ran  I  ->  x  e.  C ) )
5034, 49mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  x  e.  C )
5133, 50impbida 806 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  <->  x  e.  ran  I ) )
5251eqrdv 2402 1  |-  ( ph  ->  C  =  ran  I
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   ran crn 4838   ` cfv 5413   Basecbs 13424   ocvcocv 16842   CSubSpccss 16843   HLchlt 29833   LHypclh 30466   DVecHcdvh 31561   DIsoHcdih 31711   ocHcoch 31830  HLHilchlh 32418
This theorem is referenced by:  hlhilhillem  32446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-ot 3784  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-undef 6502  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-ip 13502  df-0g 13682  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130  df-ocv 16845  df-css 16846  df-lsatoms 29459  df-lshyp 29460  df-lcv 29502  df-lfl 29541  df-lkr 29569  df-ldual 29607  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tgrp 31225  df-tendo 31237  df-edring 31239  df-dveca 31485  df-disoa 31512  df-dvech 31562  df-dib 31622  df-dic 31656  df-dih 31712  df-doch 31831  df-djh 31878  df-lcdual 32070  df-mapd 32108  df-hvmap 32240  df-hdmap1 32277  df-hdmap 32278  df-hlhil 32419
  Copyright terms: Public domain W3C validator