Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhillcs Unicode version

Theorem hlhillcs 32151
Description: The closed subspaces of the final constructed Hilbert space. TODO: hlhilbase 32129 is applied over and over to conclusion rather than applied once to antecedent - would compressed proof be shorter if applied once to antecedent? (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhillcs.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhillcs.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
hlhillcs.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhillcs.c  |-  C  =  ( CSubSp `  U )
hlhillcs.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
hlhillcs  |-  ( ph  ->  C  =  ran  I
)

Proof of Theorem hlhillcs
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhillcs.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
2 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( (HLHil `  K ) `  W
)  e.  _V
31, 2eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  U  e. 
_V
4 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( ocv `  U )  =  ( ocv `  U )
5 hlhillcs.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( CSubSp `  U )
64, 5iscss 16583 . . . . . 6  |-  ( U  e.  _V  ->  (
x  e.  C  <->  x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) ) ) )
73, 6mp1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  <->  x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
) ) )
87biimpa 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
) )
9 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
109, 5cssss 16585 . . . . 5  |-  ( x  e.  C  ->  x  C_  ( Base `  U
) )
11 hlhillcs.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
12 hlhillcs.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
13 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
14 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
15 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
16 hlhillcs.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1716adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1811, 1, 16, 13, 14hlhilbase 32129 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )  =  ( Base `  U
) )
1918sseq2d 3206 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) )  <->  x  C_  ( Base `  U ) ) )
2019biimpar 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  x  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )
2111, 12, 13, 14, 15, 17, 20dochoccl 31559 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( x  e. 
ran  I  <->  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
22 eqcom 2285 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
)  <->  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
)  =  x )
2311, 13, 1, 17, 14, 15, 4, 20hlhilocv 32150 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ocv `  U ) `  x
)  =  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )
2423fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
)  =  ( ( ocv `  U ) `
 ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  x ) ) )
2511, 13, 14, 15dochssv 31545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )  -> 
( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
2617, 20, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  x )  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )
2711, 13, 1, 17, 14, 15, 4, 26hlhilocv 32150 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ocv `  U ) `  (
( ( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) ) )
2824, 27eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
)  =  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
) )
2928eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ( ocv `  U ) `
 ( ( ocv `  U ) `  x
) )  =  x  <-> 
( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x ) )
3022, 29syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  <->  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
3121, 30bitr4d 247 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( x  e. 
ran  I  <->  x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) ) ) )
3210, 31sylan2 460 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  ran  I  <->  x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
) ) )
338, 32mpbird 223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ran  I )
34 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  x  e.  ran  I )
3516adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3611, 13, 12, 14dihrnss 31468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  x  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
3716, 36sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  x  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
3811, 13, 1, 35, 14, 15, 4, 37hlhilocv 32150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ocv `  U
) `  x )  =  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  x ) )
3938fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  =  ( ( ocv `  U
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) ) )
4035, 37, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ( ocH `  K
) `  W ) `  x )  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )
4111, 13, 1, 35, 14, 15, 4, 40hlhilocv 32150 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ocv `  U
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) ) )
4239, 41eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) ) )
4342eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  =  x  <->  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
4443biimpar 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  I )  /\  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x )  ->  (
( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  =  x )
4544eqcomd 2288 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  I )  /\  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x )  ->  x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
) )
4645ex 423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x  ->  x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) ) ) )
4711, 12, 13, 14, 15, 35, 37dochoccl 31559 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
x  e.  ran  I  <->  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
483, 6mp1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
x  e.  C  <->  x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) ) ) )
4946, 47, 483imtr4d 259 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
x  e.  ran  I  ->  x  e.  C ) )
5034, 49mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  x  e.  C )
5133, 50impbida 805 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  <->  x  e.  ran  I ) )
5251eqrdv 2281 1  |-  ( ph  ->  C  =  ran  I
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ran crn 4690   ` cfv 5255   Basecbs 13148   ocvcocv 16560   CSubSpccss 16561   HLchlt 29540   LHypclh 30173   DVecHcdvh 31268   DIsoHcdih 31418   ocHcoch 31537  HLHilchlh 32125
This theorem is referenced by:  hlhilhillem  32153
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-ip 13226  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-ocv 16563  df-css 16564  df-lsatoms 29166  df-lshyp 29167  df-lcv 29209  df-lfl 29248  df-lkr 29276  df-ldual 29314  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tgrp 30932  df-tendo 30944  df-edring 30946  df-dveca 31192  df-disoa 31219  df-dvech 31269  df-dib 31329  df-dic 31363  df-dih 31419  df-doch 31538  df-djh 31585  df-lcdual 31777  df-mapd 31815  df-hvmap 31947  df-hdmap1 31984  df-hdmap 31985  df-hlhil 32126
  Copyright terms: Public domain W3C validator