Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhillcs Structured version   Unicode version

Theorem hlhillcs 32833
Description: The closed subspaces of the final constructed Hilbert space. TODO: hlhilbase 32811 is applied over and over to conclusion rather than applied once to antecedent - would compressed proof be shorter if applied once to antecedent? (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhillcs.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhillcs.i  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
hlhillcs.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhillcs.c  |-  C  =  ( CSubSp `  U )
hlhillcs.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
hlhillcs  |-  ( ph  ->  C  =  ran  I
)

Proof of Theorem hlhillcs
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhillcs.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
2 fvex 5745 . . . . . . 7  |-  ( (HLHil `  K ) `  W
)  e.  _V
31, 2eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  U  e. 
_V
4 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( ocv `  U )  =  ( ocv `  U )
5 hlhillcs.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( CSubSp `  U )
64, 5iscss 16915 . . . . . 6  |-  ( U  e.  _V  ->  (
x  e.  C  <->  x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) ) ) )
73, 6mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  <->  x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
) ) )
87biimpa 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
) )
9 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
109, 5cssss 16917 . . . . 5  |-  ( x  e.  C  ->  x  C_  ( Base `  U
) )
11 hlhillcs.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
12 hlhillcs.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
13 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
14 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
15 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
16 hlhillcs.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1716adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1811, 1, 16, 13, 14hlhilbase 32811 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )  =  ( Base `  U
) )
1918sseq2d 3378 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) )  <->  x  C_  ( Base `  U ) ) )
2019biimpar 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  x  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )
2111, 12, 13, 14, 15, 17, 20dochoccl 32241 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( x  e. 
ran  I  <->  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
22 eqcom 2440 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
)  <->  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
)  =  x )
2311, 13, 1, 17, 14, 15, 4, 20hlhilocv 32832 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ocv `  U ) `  x
)  =  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )
2423fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
)  =  ( ( ocv `  U ) `
 ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  x ) ) )
2511, 13, 14, 15dochssv 32227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )  -> 
( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
2617, 20, 25syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  x )  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )
2711, 13, 1, 17, 14, 15, 4, 26hlhilocv 32832 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ocv `  U ) `  (
( ( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) ) )
2824, 27eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
)  =  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
) )
2928eqeq1d 2446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( ( ( ocv `  U ) `
 ( ( ocv `  U ) `  x
) )  =  x  <-> 
( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x ) )
3022, 29syl5bb 250 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  <->  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
3121, 30bitr4d 249 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( x  e. 
ran  I  <->  x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) ) ) )
3210, 31sylan2 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  ran  I  <->  x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
) ) )
338, 32mpbird 225 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ran  I )
34 simpr 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  x  e.  ran  I )
3516adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3611, 13, 12, 14dihrnss 32150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ran  I )  ->  x  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
3716, 36sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  x  C_  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
3811, 13, 1, 35, 14, 15, 4, 37hlhilocv 32832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ocv `  U
) `  x )  =  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  x ) )
3938fveq2d 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  =  ( ( ocv `  U
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) ) )
4035, 37, 25syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ( ocH `  K
) `  W ) `  x )  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )
4111, 13, 1, 35, 14, 15, 4, 40hlhilocv 32832 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ocv `  U
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) ) )
4239, 41eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) ) )
4342eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  =  x  <->  ( ( ( ocH `  K ) `
 W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
4443biimpar 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  I )  /\  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x )  ->  (
( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) )  =  x )
4544eqcomd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ran  I )  /\  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x )  ->  x  =  ( ( ocv `  U ) `  (
( ocv `  U
) `  x )
) )
4645ex 425 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  x ) )  =  x  ->  x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) ) ) )
4711, 12, 13, 14, 15, 35, 37dochoccl 32241 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
x  e.  ran  I  <->  ( ( ( ocH `  K
) `  W ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  x )
)  =  x ) )
483, 6mp1i 12 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
x  e.  C  <->  x  =  ( ( ocv `  U
) `  ( ( ocv `  U ) `  x ) ) ) )
4946, 47, 483imtr4d 261 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  (
x  e.  ran  I  ->  x  e.  C ) )
5034, 49mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ran  I )  ->  x  e.  C )
5133, 50impbida 807 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  <->  x  e.  ran  I ) )
5251eqrdv 2436 1  |-  ( ph  ->  C  =  ran  I
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   ran crn 4882   ` cfv 5457   Basecbs 13474   ocvcocv 16892   CSubSpccss 16893   HLchlt 30222   LHypclh 30855   DVecHcdvh 31950   DIsoHcdih 32100   ocHcoch 32219  HLHilchlh 32807
This theorem is referenced by:  hlhilhillem  32835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-undef 6546  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-ip 13552  df-0g 13732  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-cntz 15121  df-oppg 15147  df-lsm 15275  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-dvr 15793  df-drng 15842  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lvec 16180  df-ocv 16895  df-css 16896  df-lsatoms 29848  df-lshyp 29849  df-lcv 29891  df-lfl 29930  df-lkr 29958  df-ldual 29996  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-llines 30369  df-lplanes 30370  df-lvols 30371  df-lines 30372  df-psubsp 30374  df-pmap 30375  df-padd 30667  df-lhyp 30859  df-laut 30860  df-ldil 30975  df-ltrn 30976  df-trl 31030  df-tgrp 31614  df-tendo 31626  df-edring 31628  df-dveca 31874  df-disoa 31901  df-dvech 31951  df-dib 32011  df-dic 32045  df-dih 32101  df-doch 32220  df-djh 32267  df-lcdual 32459  df-mapd 32497  df-hvmap 32629  df-hdmap1 32666  df-hdmap 32667  df-hlhil 32808
  Copyright terms: Public domain W3C validator