Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhillsm Structured version   Unicode version

Theorem hlhillsm 32684
Description: The vector sum operation for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhil0.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhil0.l  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hlhil0.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhil0.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhillsm.a  |-  .(+)  =  (
LSSum `  L )
Assertion
Ref Expression
hlhillsm  |-  ( ph  -> 
.(+)  =  ( LSSum `  U ) )

Proof of Theorem hlhillsm
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhillsm.a . 2  |-  .(+)  =  (
LSSum `  L )
2 eqidd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  L
)  =  ( Base `  L ) )
3 hlhil0.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 hlhil0.u . . . 4  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
5 hlhil0.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 hlhil0.l . . . 4  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
83, 4, 5, 6, 7hlhilbase 32664 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  L
)  =  ( Base `  U ) )
9 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
103, 4, 5, 6, 9hlhilplus 32665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +g  `  L
)  =  ( +g  `  U ) )
1110proplem3 13908 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  L
)  /\  y  e.  ( Base `  L )
) )  ->  (
x ( +g  `  L
) y )  =  ( x ( +g  `  U ) y ) )
12 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  e.  _V
136, 12eqeltri 2505 . . . 4  |-  L  e. 
_V
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  L  e.  _V )
15 fvex 5734 . . . . 5  |-  ( (HLHil `  K ) `  W
)  e.  _V
164, 15eqeltri 2505 . . . 4  |-  U  e. 
_V
1716a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  _V )
182, 8, 11, 14, 17lsmpropd 15301 . 2  |-  ( ph  ->  ( LSSum `  L )  =  ( LSSum `  U
) )
191, 18syl5eq 2479 1  |-  ( ph  -> 
.(+)  =  ( LSSum `  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   ` cfv 5446   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   LSSumclsm 15260   HLchlt 30075   LHypclh 30708   DVecHcdvh 31803  HLHilchlh 32660
This theorem is referenced by:  hlhilhillem  32688
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-ip 13539  df-lsm 15262  df-hlhil 32661
  Copyright terms: Public domain W3C validator