Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhillvec Unicode version

Theorem hlhillvec 32437
Description: The final constructed Hilbert space is a vector space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhillvec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhillvec.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhillvec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
hlhillvec  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )

Proof of Theorem hlhillvec
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhillvec.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2404 . . 3  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
3 hlhillvec.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlvec 31592 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( DVecH `  K
) `  W )  e.  LVec )
5 eqidd 2405 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )  =  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )
6 hlhillvec.u . . . 4  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
7 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
81, 6, 3, 2, 7hlhilbase 32422 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )  =  ( Base `  U
) )
9 eqid 2404 . . 3  |-  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
10 eqid 2404 . . 3  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
11 eqidd 2405 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )  =  (
Base `  (Scalar `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ) )
12 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
131, 2, 9, 6, 10, 3, 12hlhilsbase2 32428 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )  =  (
Base `  (Scalar `  U
) ) )
14 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
151, 6, 3, 2, 14hlhilplus 32423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )  =  ( +g  `  U
) )
1615proplem3 13871 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ) )  -> 
( x ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) y )  =  ( x ( +g  `  U ) y ) )
17 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( +g  `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) )  =  ( +g  `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
181, 2, 9, 6, 10, 3, 17hlhilsplus2 32429 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +g  `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )  =  ( +g  `  (Scalar `  U ) ) )
1918proplem3 13871 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )  /\  y  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ) ) )  ->  ( x ( +g  `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ) y )  =  ( x ( +g  `  (Scalar `  U ) ) y ) )
20 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( .r
`  (Scalar `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) )  =  ( .r `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K ) `  W
) ) )
211, 2, 9, 6, 10, 3, 20hlhilsmul2 32430 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( .r `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )  =  ( .r `  (Scalar `  U ) ) )
2221proplem3 13871 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )  /\  y  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ) ) )  ->  ( x ( .r `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) ) y )  =  ( x ( .r `  (Scalar `  U ) ) y ) )
23 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( .s
`  ( ( DVecH `  K ) `  W
) )  =  ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  W ) )
241, 2, 23, 6, 3hlhilvsca 32433 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( .s `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )  =  ( .s `  U
) )
2524proplem3 13871 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )  /\  y  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ) )  ->  ( x
( .s `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) y )  =  ( x ( .s `  U
) y ) )
265, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 19, 22, 25lvecprop2d 16193 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( DVecH `  K ) `  W
)  e.  LVec  <->  U  e.  LVec ) )
274, 26mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   LVecclvec 16129   HLchlt 29833   LHypclh 30466   DVecHcdvh 31561  HLHilchlh 32418
This theorem is referenced by:  hlhilphllem  32445
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-undef 6502  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-ip 13502  df-0g 13682  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lvec 16130  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tendo 31237  df-edring 31239  df-dvech 31562  df-hlhil 32419
  Copyright terms: Public domain W3C validator