Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilplus Unicode version

Theorem hlhilplus 32752
Description: The vector addition for the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilbase.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilbase.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilbase.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilbase.l  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hlhilplus.a  |-  .+  =  ( +g  `  L )
Assertion
Ref Expression
hlhilplus  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  U ) )

Proof of Theorem hlhilplus
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilbase.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilbase.u . . . 4  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
3 hlhilbase.l . . . 4  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
5 hlhilplus.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  L )
6 eqid 2296 . . . 4  |-  ( (
EDRing `  K ) `  W )  =  ( ( EDRing `  K ) `  W )
7 eqid 2296 . . . 4  |-  ( (HGMap `  K ) `  W
)  =  ( (HGMap `  K ) `  W
)
8 eqid 2296 . . . 4  |-  ( ( ( EDRing `  K ) `  W ) sSet  <. (
* r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )
9 eqid 2296 . . . 4  |-  ( .s
`  L )  =  ( .s `  L
)
10 eqid 2296 . . . 4  |-  ( (HDMap `  K ) `  W
)  =  ( (HDMap `  K ) `  W
)
11 eqid 2296 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
)  =  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
)
12 hlhilbase.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hlhilset 32749 . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  L ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) )
1413fveq2d 5545 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  U
)  =  ( +g  `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  L
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) ) )
15 fvex 5555 . . . 4  |-  ( +g  `  L )  e.  _V
165, 15eqeltri 2366 . . 3  |-  .+  e.  _V
17 eqid 2296 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  L ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  L
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } )
1817phlplusg 13305 . . 3  |-  (  .+  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  L ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) ) )
1916, 18ax-mp 8 . 2  |-  .+  =  ( +g  `  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  L ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  ( ( ( EDRing `  K
) `  W ) sSet  <.
( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  L ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  L
) ,  y  e.  ( Base `  L
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) )
2014, 19syl6reqr 2347 1  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    u. cun 3163   {cpr 3654   {ctp 3655   <.cop 3656   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   ndxcnx 13161   sSet csts 13162   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   * rcstv 13226  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   .icip 13229   HLchlt 30162   LHypclh 30795   EDRingcedring 31564   DVecHcdvh 31890  HDMapchdma 32605  HGMapchg 32698  HLHilchlh 32747
This theorem is referenced by:  hlhillvec  32766  hlhil0  32770  hlhillsm  32771  hlhilphllem  32774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-ip 13242  df-hlhil 32748
  Copyright terms: Public domain W3C validator