Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilsca Structured version   Unicode version

Theorem hlhilsca 32798
Description: The scalar of the final constructed Hilbert space. (Contributed by NM, 22-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilbase.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilbase.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilbase.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilsca.e  |-  E  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
hlhilsca.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
hlhilsca.r  |-  R  =  ( E sSet  <. (
* r `  ndx ) ,  G >. )
Assertion
Ref Expression
hlhilsca  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  U ) )

Proof of Theorem hlhilsca
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilbase.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilbase.u . . . 4  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
3 eqid 2438 . . . 4  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
4 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
5 eqid 2438 . . . 4  |-  ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
6 hlhilsca.e . . . 4  |-  E  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
7 hlhilsca.g . . . 4  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
8 hlhilsca.r . . . 4  |-  R  =  ( E sSet  <. (
* r `  ndx ) ,  G >. )
9 eqid 2438 . . . 4  |-  ( .s
`  ( ( DVecH `  K ) `  W
) )  =  ( .s `  ( (
DVecH `  K ) `  W ) )
10 eqid 2438 . . . 4  |-  ( (HDMap `  K ) `  W
)  =  ( (HDMap `  K ) `  W
)
11 eqid 2438 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ,  y  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
)  =  ( x  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ,  y  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
)
12 hlhilbase.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hlhilset 32797 . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ,  y  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) )
1413fveq2d 5734 . 2  |-  ( ph  ->  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ,  y  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) ) )
15 ovex 6108 . . . 4  |-  ( E sSet  <. ( * r `  ndx ) ,  G >. )  e.  _V
168, 15eqeltri 2508 . . 3  |-  R  e. 
_V
17 eqid 2438 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ,  y  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  (
Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) ,  y  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } )
1817phlsca 13613 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  R  =  (Scalar `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ,  y  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) ) )
1916, 18ax-mp 8 . 2  |-  R  =  (Scalar `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  R >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( x  e.  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) ,  y  e.  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  |->  ( ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  y
) `  x )
) >. } ) )
2014, 19syl6reqr 2489 1  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    u. cun 3320   {cpr 3817   {ctp 3818   <.cop 3819   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   ndxcnx 13468   sSet csts 13469   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   * rcstv 13533  Scalarcsca 13534   .scvsca 13535   .icip 13536   HLchlt 30210   LHypclh 30843   EDRingcedring 31612   DVecHcdvh 31938  HDMapchdma 32653  HGMapchg 32746  HLHilchlh 32795
This theorem is referenced by:  hlhilslem  32801  hlhilnvl  32813
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-ip 13549  df-hlhil 32796
  Copyright terms: Public domain W3C validator