Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilset Structured version   Unicode version

Theorem hlhilset 32735
 Description: The final Hilbert space constructed from a Hilbert lattice and an arbitrary hyperplane in . (Contributed by NM, 21-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilset.h
hlhilset.l HLHil
hlhilset.u
hlhilset.v
hlhilset.p
hlhilset.e
hlhilset.g HGMap
hlhilset.r sSet
hlhilset.t
hlhilset.s HDMap
hlhilset.i
hlhilset.k
Assertion
Ref Expression
hlhilset Scalar
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem hlhilset
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilset.l . 2 HLHil
2 hlhilset.k . . . . 5
3 elex 2964 . . . . . 6
43adantr 452 . . . . 5
52, 4syl 16 . . . 4
6 hlhilset.h . . . . . 6
7 fvex 5742 . . . . . 6
86, 7eqeltri 2506 . . . . 5
98mptex 5966 . . . 4 Scalar sSet HGMap HDMap
10 nfcv 2572 . . . . 5
11 nfcv 2572 . . . . . 6
12 nfcsb1v 3283 . . . . . 6 Scalar sSet HGMap HDMap
1311, 12nfmpt 4297 . . . . 5 Scalar sSet HGMap HDMap
14 fveq2 5728 . . . . . . 7
1514, 6syl6eqr 2486 . . . . . 6
16 csbeq1a 3259 . . . . . 6 Scalar sSet HGMap HDMap Scalar sSet HGMap HDMap
1715, 16mpteq12dv 4287 . . . . 5 Scalar sSet HGMap HDMap Scalar sSet HGMap HDMap
18 df-hlhil 32734 . . . . 5 HLHil Scalar sSet HGMap HDMap
1910, 13, 17, 18fvmptf 5821 . . . 4 Scalar sSet HGMap HDMap HLHil Scalar sSet HGMap HDMap
205, 9, 19sylancl 644 . . 3 HLHil Scalar sSet HGMap HDMap
215adantr 452 . . . 4
22 fvex 5742 . . . . . 6
2322a1i 11 . . . . 5
24 fvex 5742 . . . . . . 7
2524a1i 11 . . . . . 6
26 id 20 . . . . . . . . . 10
27 id 20 . . . . . . . . . . . . 13
28 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2928fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15
3129, 30fveq12d 5734 . . . . . . . . . . . . . 14
32 hlhilset.u . . . . . . . . . . . . . 14
3331, 32syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . 13
3427, 33sylan9eqr 2490 . . . . . . . . . . . 12
3534fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11
36 hlhilset.v . . . . . . . . . . 11
3735, 36syl6eqr 2486 . . . . . . . . . 10
3826, 37sylan9eqr 2490 . . . . . . . . 9
3938opeq2d 3991 . . . . . . . 8
4034adantr 452 . . . . . . . . . . 11
4140fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10
42 hlhilset.p . . . . . . . . . 10
4341, 42syl6eqr 2486 . . . . . . . . 9
4443opeq2d 3991 . . . . . . . 8
4528fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14
4645, 30fveq12d 5734 . . . . . . . . . . . . 13
47 hlhilset.e . . . . . . . . . . . . 13
4846, 47syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . 12
4928fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15 HGMap HGMap
5049, 30fveq12d 5734 . . . . . . . . . . . . . 14 HGMap HGMap
51 hlhilset.g . . . . . . . . . . . . . 14 HGMap
5250, 51syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . 13 HGMap
5352opeq2d 3991 . . . . . . . . . . . 12 HGMap
5448, 53oveq12d 6099 . . . . . . . . . . 11 sSet HGMap sSet
55 hlhilset.r . . . . . . . . . . 11 sSet
5654, 55syl6eqr 2486 . . . . . . . . . 10 sSet HGMap
5756opeq2d 3991 . . . . . . . . 9 Scalar sSet HGMap Scalar
5857ad2antrr 707 . . . . . . . 8 Scalar sSet HGMap Scalar
5939, 44, 58tpeq123d 3898 . . . . . . 7 Scalar sSet HGMap Scalar
6040fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10
61 hlhilset.t . . . . . . . . . 10
6260, 61syl6eqr 2486 . . . . . . . . 9
6362opeq2d 3991 . . . . . . . 8
6428fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 HDMap HDMap
6564, 30fveq12d 5734 . . . . . . . . . . . . . . 15 HDMap HDMap
66 hlhilset.s . . . . . . . . . . . . . . 15 HDMap
6765, 66syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . 14 HDMap
6867ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13 HDMap
6968fveq1d 5730 . . . . . . . . . . . 12 HDMap
7069fveq1d 5730 . . . . . . . . . . 11 HDMap
7138, 38, 70mpt2eq123dv 6136 . . . . . . . . . 10 HDMap
72 hlhilset.i . . . . . . . . . 10
7371, 72syl6eqr 2486 . . . . . . . . 9 HDMap
7473opeq2d 3991 . . . . . . . 8 HDMap
7563, 74preq12d 3891 . . . . . . 7 HDMap
7659, 75uneq12d 3502 . . . . . 6 Scalar sSet HGMap HDMap Scalar
7725, 76csbied 3293 . . . . 5 Scalar sSet HGMap HDMap Scalar
7823, 77csbied 3293 . . . 4 Scalar sSet HGMap HDMap Scalar
7921, 78csbied 3293 . . 3 Scalar sSet HGMap HDMap Scalar
802simprd 450 . . 3
81 tpex 4708 . . . . 5 Scalar
82 prex 4406 . . . . 5
8381, 82unex 4707 . . . 4 Scalar
8483a1i 11 . . 3 Scalar
8520, 79, 80, 84fvmptd 5810 . 2 HLHil Scalar
861, 85syl5eq 2480 1 Scalar
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956  csb 3251   cun 3318  cpr 3815  ctp 3816  cop 3817   cmpt 4266  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  cnx 13466   sSet csts 13467  cbs 13469   cplusg 13529  cstv 13531  Scalarcsca 13532  cvsca 13533  cip 13534  chlt 30148  clh 30781  cedring 31550  cdvh 31876  HDMapchdma 32591  HGMapchg 32684  HLHilchlh 32733 This theorem is referenced by:  hlhilsca  32736  hlhilbase  32737  hlhilplus  32738  hlhilvsca  32748  hlhilip  32749 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-hlhil 32734
 Copyright terms: Public domain W3C validator