Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilslem Unicode version

Theorem hlhilslem 32753
Description: Lemma for hlhilsbase2 32757. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilslem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhilslem.e  |-  E  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
hlhilslem.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhilslem.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hlhilslem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhilslem.f  |-  F  = Slot 
N
hlhilslem.1  |-  N  e.  NN
hlhilslem.2  |-  N  <  4
hlhilslem.c  |-  C  =  ( F `  E
)
Assertion
Ref Expression
hlhilslem  |-  ( ph  ->  C  =  ( F `
 R ) )

Proof of Theorem hlhilslem
StepHypRef Expression
1 hlhilslem.c . . 3  |-  C  =  ( F `  E
)
2 hlhilslem.f . . . . 5  |-  F  = Slot 
N
3 hlhilslem.1 . . . . 5  |-  N  e.  NN
42, 3ndxid 13185 . . . 4  |-  F  = Slot  ( F `  ndx )
53nnrei 9771 . . . . . 6  |-  N  e.  RR
6 hlhilslem.2 . . . . . 6  |-  N  <  4
75, 6ltneii 8947 . . . . 5  |-  N  =/=  4
82, 3ndxarg 13184 . . . . . 6  |-  ( F `
 ndx )  =  N
9 starvndx 13275 . . . . . 6  |-  ( * r `  ndx )  =  4
108, 9neeq12i 2471 . . . . 5  |-  ( ( F `  ndx )  =/=  ( * r `  ndx )  <->  N  =/=  4
)
117, 10mpbir 200 . . . 4  |-  ( F `
 ndx )  =/=  ( * r `  ndx )
124, 11setsnid 13204 . . 3  |-  ( F `
 E )  =  ( F `  ( E sSet  <. ( * r `
 ndx ) ,  ( (HGMap `  K
) `  W ) >. ) )
131, 12eqtri 2316 . 2  |-  C  =  ( F `  ( E sSet  <. ( * r `
 ndx ) ,  ( (HGMap `  K
) `  W ) >. ) )
14 hlhilslem.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
15 hlhilslem.u . . . . 5  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
16 hlhilslem.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
17 hlhilslem.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( EDRing `  K
) `  W )
18 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( (HGMap `  K ) `  W
)  =  ( (HGMap `  K ) `  W
)
19 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( E sSet  <. ( * r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  ( E sSet  <. ( * r `
 ndx ) ,  ( (HGMap `  K
) `  W ) >. )
2014, 15, 16, 17, 18, 19hlhilsca 32750 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E sSet  <. (
* r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  (Scalar `  U ) )
21 hlhilslem.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  U )
2220, 21syl6eqr 2346 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E sSet  <. (
* r `  ndx ) ,  ( (HGMap `  K ) `  W
) >. )  =  R )
2322fveq2d 5545 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  ( E sSet  <. ( * r `
 ndx ) ,  ( (HGMap `  K
) `  W ) >. ) )  =  ( F `  R ) )
2413, 23syl5eq 2340 1  |-  ( ph  ->  C  =  ( F `
 R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   <.cop 3656   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    < clt 8883   NNcn 9762   4c4 9813   ndxcnx 13161   sSet csts 13162  Slot cslot 13163   * rcstv 13226  Scalarcsca 13227   HLchlt 30162   LHypclh 30795   EDRingcedring 31564  HGMapchg 32698  HLHilchlh 32747
This theorem is referenced by:  hlhilsbase  32754  hlhilsplus  32755  hlhilsmul  32756
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-ip 13242  df-hlhil 32748
  Copyright terms: Public domain W3C validator