Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilsrnglem Unicode version

Theorem hlhilsrnglem 31964
Description: Lemma for hlhilsrng 31965. (Contributed by NM, 21-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhillvec.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hlhillvec.u  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
hlhillvec.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hlhildrng.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hlhilsrng.l  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hlhilsrng.s  |-  S  =  (Scalar `  L )
hlhilsrng.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
hlhilsrng.p  |-  .+  =  ( +g  `  S )
hlhilsrng.t  |-  .x.  =  ( .r `  S )
hlhilsrng.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
hlhilsrnglem  |-  ( ph  ->  R  e.  *Ring )

Proof of Theorem hlhilsrnglem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhillvec.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hlhilsrng.l . . 3  |-  L  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hlhilsrng.s . . 3  |-  S  =  (Scalar `  L )
4 hlhillvec.u . . 3  |-  U  =  ( (HLHil `  K
) `  W )
5 hlhildrng.r . . 3  |-  R  =  (Scalar `  U )
6 hlhillvec.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 hlhilsrng.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7hlhilsbase2 31953 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
9 hlhilsrng.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  S )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9hlhilsplus2 31954 . 2  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
11 hlhilsrng.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  S )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 11hlhilsmul2 31955 . 2  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  R ) )
13 hlhilsrng.g . . 3  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
141, 4, 5, 13, 6hlhilnvl 31961 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( * r `  R ) )
151, 4, 6, 5hlhildrng 31963 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  DivRing )
16 drngrng 15568 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
1715, 16syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
186adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
19 simpr 447 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
201, 2, 3, 7, 13, 18, 19hgmapcl 31900 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( G `  x )  e.  B )
2163ad2ant1 976 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
22 simp2 956 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  x  e.  B )
23 simp3 957 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  y  e.  B )
241, 2, 3, 7, 9, 13, 21, 22, 23hgmapadd 31905 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( G `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( G `  x
)  .+  ( G `  y ) ) )
251, 2, 3, 7, 11, 13, 21, 22, 23hgmapmul 31906 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( G `  ( x  .x.  y
) )  =  ( ( G `  y
)  .x.  ( G `  x ) ) )
261, 2, 3, 7, 13, 18, 19hgmapvv 31937 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( G `  ( G `  x ) )  =  x )
278, 10, 12, 14, 17, 20, 24, 25, 26issrngd 15675 1  |-  ( ph  ->  R  e.  *Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   ` cfv 5292   Basecbs 13195   +g cplusg 13255   .rcmulr 13256  Scalarcsca 13258   Ringcrg 15386   DivRingcdr 15561   *Ringcsr 15658   HLchlt 29358   LHypclh 29991   DVecHcdvh 31086  HGMapchg 31894  HLHilchlh 31943
This theorem is referenced by:  hlhilsrng  31965
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-ot 3684  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-undef 6340  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-ip 13273  df-0g 13453  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-poset 14129  df-plt 14141  df-lub 14157  df-glb 14158  df-join 14159  df-meet 14160  df-p0 14194  df-p1 14195  df-lat 14201  df-clat 14263  df-mnd 14416  df-mhm 14464  df-submnd 14465  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-subg 14667  df-ghm 14730  df-cntz 14842  df-oppg 14868  df-lsm 14996  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-oppr 15454  df-dvdsr 15472  df-unit 15473  df-invr 15503  df-dvr 15514  df-rnghom 15545  df-drng 15563  df-staf 15659  df-srng 15660  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778  df-lvec 15905  df-lsatoms 28984  df-lshyp 28985  df-lcv 29027  df-lfl 29066  df-lkr 29094  df-ldual 29132  df-oposet 29184  df-ol 29186  df-oml 29187  df-covers 29274  df-ats 29275  df-atl 29306  df-cvlat 29330  df-hlat 29359  df-llines 29505  df-lplanes 29506  df-lvols 29507  df-lines 29508  df-psubsp 29510  df-pmap 29511  df-padd 29803  df-lhyp 29995  df-laut 29996  df-ldil 30111  df-ltrn 30112  df-trl 30166  df-tgrp 30750  df-tendo 30762  df-edring 30764  df-dveca 31010  df-disoa 31037  df-dvech 31087  df-dib 31147  df-dic 31181  df-dih 31237  df-doch 31356  df-djh 31403  df-lcdual 31595  df-mapd 31633  df-hvmap 31765  df-hdmap1 31802  df-hdmap 31803  df-hgmap 31895  df-hlhil 31944
  Copyright terms: Public domain W3C validator