HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlim0 Structured version   Unicode version

Theorem hlim0 22738
Description: The zero sequence in Hilbert space converges to the zero vector. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlim0  |-  ( NN 
X.  { 0h }
)  ~~>v  0h

Proof of Theorem hlim0
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . . 5  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  =  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
2 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
31, 2hhxmet 22677 . . . 4  |-  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  e.  ( * Met `  ~H )
4 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)
54mopntopon 18469 . . . 4  |-  ( (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  e.  ( * Met `  ~H )  ->  ( MetOpen `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )  e.  (TopOn `  ~H )
)
63, 5ax-mp 8 . . 3  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)  e.  (TopOn `  ~H )
7 ax-hv0cl 22506 . . 3  |-  0h  e.  ~H
8 1z 10311 . . 3  |-  1  e.  ZZ
9 nnuz 10521 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
109lmconst 17325 . . 3  |-  ( ( ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )  e.  (TopOn `  ~H )  /\  0h  e.  ~H  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  { 0h } ) ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) 0h )
116, 7, 8, 10mp3an 1279 . 2  |-  ( NN 
X.  { 0h }
) ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) 0h
127fconst6 5633 . . 3  |-  ( NN 
X.  { 0h }
) : NN --> ~H
13 ax-hilex 22502 . . . 4  |-  ~H  e.  _V
14 nnex 10006 . . . 4  |-  NN  e.  _V
1513, 14elmap 7042 . . 3  |-  ( ( NN  X.  { 0h } )  e.  ( ~H  ^m  NN )  <-> 
( NN  X.  { 0h } ) : NN --> ~H )
1612, 15mpbir 201 . 2  |-  ( NN 
X.  { 0h }
)  e.  ( ~H 
^m  NN )
171, 2, 4hhlm 22701 . . . 4  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
1817breqi 4218 . . 3  |-  ( ( NN  X.  { 0h } )  ~~>v  0h  <->  ( NN  X.  { 0h } ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) 0h )
197elexi 2965 . . . 4  |-  0h  e.  _V
2019brres 5152 . . 3  |-  ( ( NN  X.  { 0h } ) ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) 0h  <->  ( ( NN 
X.  { 0h }
) ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) 0h  /\  ( NN 
X.  { 0h }
)  e.  ( ~H 
^m  NN ) ) )
2118, 20bitri 241 . 2  |-  ( ( NN  X.  { 0h } )  ~~>v  0h  <->  ( ( NN  X.  { 0h }
) ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) 0h  /\  ( NN 
X.  { 0h }
)  e.  ( ~H 
^m  NN ) ) )
2211, 16, 21mpbir2an 887 1  |-  ( NN 
X.  { 0h }
)  ~~>v  0h
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    e. wcel 1725   {csn 3814   <.cop 3817   class class class wbr 4212    X. cxp 4876    |` cres 4880   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^m cmap 7018   1c1 8991   NNcn 10000   ZZcz 10282   * Metcxmt 16686   MetOpencmopn 16691  TopOnctopon 16959   ~~> tclm 17290   IndMetcims 22070   ~Hchil 22422    +h cva 22423    .h csm 22424   normhcno 22426   0hc0v 22427    ~~>v chli 22430
This theorem is referenced by:  hsn0elch  22750
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070  ax-hilex 22502  ax-hfvadd 22503  ax-hvcom 22504  ax-hvass 22505  ax-hv0cl 22506  ax-hvaddid 22507  ax-hfvmul 22508  ax-hvmulid 22509  ax-hvmulass 22510  ax-hvdistr1 22511  ax-hvdistr2 22512  ax-hvmul0 22513  ax-hfi 22581  ax-his1 22584  ax-his2 22585  ax-his3 22586  ax-his4 22587
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-lm 17293  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-vs 22078  df-nmcv 22079  df-ims 22080  df-hnorm 22471  df-hvsub 22474  df-hlim 22475
  Copyright terms: Public domain W3C validator