Theorem hlim0 9105

Description: The zero sequence in Hilbert space converges to the zero vector.

Assertion

Ref	Expression
hlim0	|- (NN X. {0h}) ~~>v 0h

Proof of Theorem hlim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 5933	. . . 4 |- NN e. V
2		snex 2750	. . . 4 |- {0h} e. V
3	1, 2	xpex 3260	. . 3 |- (NN X. {0h}) e. V
4		ax-hv0cl 8873	. . . 4 |- 0h e. H~
5	4	elisseti 1818	. . 3 |- 0h e. V
6	3, 5	hlim 9056	. 2 |- ((NN X. {0h}) ~~>v 0h <-> (((NN X. {0h}):NN-->H~ /\ 0h e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x))))
7	5	fconst 3658	. . . 4 |- (NN X. {0h}):NN-->{0h}
8		snssi 2466	. . . . 5 |- (0h e. H~ -> {0h} (_ H~)
9	4, 8	ax-mp 7	. . . 4 |- {0h} (_ H~
10		fss 3635	. . . 4 |- (((NN X. {0h}):NN-->{0h} /\ {0h} (_ H~) -> (NN X. {0h}):NN-->H~)
11	7, 9, 10	mp2an 697	. . 3 |- (NN X. {0h}):NN-->H~
12	11, 4	pm3.2i 285	. 2 |- ((NN X. {0h}):NN-->H~ /\ 0h e. H~)
13	5	fvconst2 3846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z e. NN -> ((NN X. {0h})` z) = 0h)
14	13	opreq1d 3975	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. NN -> (((NN X. {0h})` z) -h 0h) = (0h -h 0h))
15		hvsubidt 8895	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (0h e. H~ -> (0h -h 0h) = 0h)
16	4, 15	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (0h -h 0h) = 0h
17	14, 16	syl6eq 1523	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. NN -> (((NN X. {0h})` z) -h 0h) = 0h)
18	17	fveq2d 3728	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. NN -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) = (normh` 0h))
19		norm0 8995	. . . . . . . . . . . 12 |- (normh` 0h) = 0
20	18, 19	syl6eq 1523	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. NN -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) = 0)
21	20	breq1d 2629	. . . . . . . . . 10 |- (z e. NN -> ((normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x <-> 0 < x))
22	21	biimprd 154	. . . . . . . . 9 |- (z e. NN -> (0 < x -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x))
23	22	a1d 12	. . . . . . . 8 |- (z e. NN -> (1 <_ z -> (0 < x -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x)))
24	23	com3r 35	. . . . . . 7 |- (0 < x -> (z e. NN -> (1 <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x)))
25	24	r19.21aiv 1713	. . . . . 6 |- (0 < x -> A.z e. NN (1 <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x))
26		1nn 5934	. . . . . 6 |- 1 e. NN
27	25, 26	jctil 292	. . . . 5 |- (0 < x -> (1 e. NN /\ A.z e. NN (1 <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x)))
28		breq1 2622	. . . . . . . 8 |- (y = 1 -> (y <_ z <-> 1 <_ z))
29	28	imbi1d 613	. . . . . . 7 |- (y = 1 -> ((y <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x) <-> (1 <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x)))
30	29	ralbidv 1663	. . . . . 6 |- (y = 1 -> (A.z e. NN (y <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x) <-> A.z e. NN (1 <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x)))
31	30	rcla4ev 1877	. . . . 5 |- ((1 e. NN /\ A.z e. NN (1 <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x)) -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x))
32	27, 31	syl 10	. . . 4 |- (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x))
33	32	a1i 8	. . 3 |- (x e. RR -> (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x)))
34	33	rgen 1698	. 2 |- A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` (((NN X. {0h})` z) -h 0h)) < x))
35	6, 12, 34	mpbir2an 730	1 |- (NN X. {0h}) ~~>v 0h

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047  {csn 2409   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486  H~chil 8788  0hc0v 8791   -h cmv 8792  normhcno 8794   ~~>v chli 8796

This theorem is referenced by:  hlimcau 9107  hlimuni 9109  hsn0elch 9120

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hv0cl 8873  ax-hvmulid 8876  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his3 8951

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-sqr 6670  df-hnorm 8837  df-hvsub 8840  df-hlim 8841

Copyright terms: Public domain