HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimadd Structured version   Unicode version

Theorem hlimadd 22697
Description: Limit of the sum of two sequences in a Hilbert vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlimadd.3  |-  ( ph  ->  F : NN --> ~H )
hlimadd.4  |-  ( ph  ->  G : NN --> ~H )
hlimadd.5  |-  ( ph  ->  F  ~~>v  A )
hlimadd.6  |-  ( ph  ->  G  ~~>v  B )
hlimadd.7  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n )  +h  ( G `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
hlimadd  |-  ( ph  ->  H  ~~>v  ( A  +h  B ) )
Distinct variable groups:    n, F    n, G    ph, n
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    H( n)

Proof of Theorem hlimadd
StepHypRef Expression
1 nnuz 10523 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10313 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 eqid 2438 . . . . 5  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  =  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
5 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( normh  o. 
-h  )  =  (
normh  o.  -h  )
64, 5hhims 22676 . . . . 5  |-  ( normh  o. 
-h  )  =  (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
74, 6hhxmet 22679 . . . 4  |-  ( normh  o. 
-h  )  e.  ( * Met `  ~H )
8 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
)  =  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
)
98mopntopon 18471 . . . 4  |-  ( (
normh  o.  -h  )  e.  ( * Met `  ~H )  ->  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) )  e.  (TopOn `  ~H ) )
107, 9mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) )  e.  (TopOn `  ~H )
)
11 hlimadd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> ~H )
12 hlimadd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  G : NN --> ~H )
13 hlimadd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>v  A )
144hhnv 22669 . . . . . . 7  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  e.  NrmCVec
15 df-hba 22474 . . . . . . 7  |-  ~H  =  ( BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
164, 14, 15, 6, 8h2hlm 22485 . . . . . 6  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( normh  o.  -h  ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
17 resss 5172 . . . . . 6  |-  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) 
C_  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )
1816, 17eqsstri 3380 . . . . 5  |-  ~~>v  C_  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) )
1918ssbri 4256 . . . 4  |-  ( F 
~~>v  A  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) ) A )
2013, 19syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) ) A )
21 hlimadd.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  ~~>v  B )
2218ssbri 4256 . . . 4  |-  ( G 
~~>v  B  ->  G ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) ) B )
2321, 22syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) ) B )
244hhva 22670 . . . . 5  |-  +h  =  ( +v `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
256, 8, 24vacn 22192 . . . 4  |-  ( <. <.  +h  ,  .h  >. , 
normh >.  e.  NrmCVec  ->  +h  e.  ( ( ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
)  tX  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
) )  Cn  ( MetOpen
`  ( normh  o.  -h  ) ) ) )
2614, 25mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  +h  e.  ( ( ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) )  tX  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) ) )
27 hlimadd.7 . . 3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n )  +h  ( G `  n )
) )
281, 3, 10, 10, 11, 12, 20, 23, 26, 27lmcn2 17683 . 2  |-  ( ph  ->  H ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) ) ( A  +h  B
) )
2911ffvelrnda 5872 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. 
~H )
3012ffvelrnda 5872 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  e. 
~H )
31 hvaddcl 22517 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  ~H  /\  ( G `  n )  e.  ~H )  -> 
( ( F `  n )  +h  ( G `  n )
)  e.  ~H )
3229, 30, 31syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n )  +h  ( G `  n ) )  e. 
~H )
3332, 27fmptd 5895 . . 3  |-  ( ph  ->  H : NN --> ~H )
34 ax-hilex 22504 . . . 4  |-  ~H  e.  _V
35 nnex 10008 . . . 4  |-  NN  e.  _V
3634, 35elmap 7044 . . 3  |-  ( H  e.  ( ~H  ^m  NN )  <->  H : NN --> ~H )
3733, 36sylibr 205 . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ~H 
^m  NN ) )
3816breqi 4220 . . 3  |-  ( H 
~~>v  ( A  +h  B
)  <->  H ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) ( A  +h  B ) )
39 ovex 6108 . . . 4  |-  ( A  +h  B )  e. 
_V
4039brres 5154 . . 3  |-  ( H ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) ( A  +h  B )  <->  ( H
( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( normh  o.  -h  ) ) ) ( A  +h  B )  /\  H  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
4138, 40bitri 242 . 2  |-  ( H 
~~>v  ( A  +h  B
)  <->  ( H ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
) ) ( A  +h  B )  /\  H  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
4228, 37, 41sylanbrc 647 1  |-  ( ph  ->  H  ~~>v  ( A  +h  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   <.cop 3819   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    |` cres 4882    o. ccom 4884   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ^m cmap 7020   1c1 8993   NNcn 10002   ZZcz 10284   * Metcxmt 16688   MetOpencmopn 16693  TopOnctopon 16961    Cn ccn 17290   ~~> tclm 17292    tX ctx 17594   NrmCVeccnv 22065   ~Hchil 22424    +h cva 22425    .h csm 22426   normhcno 22428    -h cmv 22430    ~~>v chli 22432
This theorem is referenced by:  chscllem4  23144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072  ax-hilex 22504  ax-hfvadd 22505  ax-hvcom 22506  ax-hvass 22507  ax-hv0cl 22508  ax-hvaddid 22509  ax-hfvmul 22510  ax-hvmulid 22511  ax-hvmulass 22512  ax-hvdistr1 22513  ax-hvdistr2 22514  ax-hvmul0 22515  ax-hfi 22583  ax-his1 22586  ax-his2 22587  ax-his3 22588  ax-his4 22589
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-lm 17295  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-tms 18354  df-grpo 21781  df-gid 21782  df-ginv 21783  df-gdiv 21784  df-ablo 21872  df-vc 22027  df-nv 22073  df-va 22076  df-ba 22077  df-sm 22078  df-0v 22079  df-vs 22080  df-nmcv 22081  df-ims 22082  df-hnorm 22473  df-hba 22474  df-hvsub 22476  df-hlim 22477
  Copyright terms: Public domain W3C validator