HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimadd Unicode version

Theorem hlimadd 21788
Description: Limit of the sum of two sequences in a Hilbert vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlimadd.3  |-  ( ph  ->  F : NN --> ~H )
hlimadd.4  |-  ( ph  ->  G : NN --> ~H )
hlimadd.5  |-  ( ph  ->  F  ~~>v  A )
hlimadd.6  |-  ( ph  ->  G  ~~>v  B )
hlimadd.7  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n )  +h  ( G `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
hlimadd  |-  ( ph  ->  H  ~~>v  ( A  +h  B ) )
Distinct variable groups:    n, F    n, G    ph, n
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    H( n)

Proof of Theorem hlimadd
StepHypRef Expression
1 nnuz 10279 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10069 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 eqid 2296 . . . . 5  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  =  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
5 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( normh  o. 
-h  )  =  (
normh  o.  -h  )
64, 5hhims 21767 . . . . 5  |-  ( normh  o. 
-h  )  =  (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
74, 6hhxmet 21770 . . . 4  |-  ( normh  o. 
-h  )  e.  ( * Met `  ~H )
8 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
)  =  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
)
98mopntopon 18001 . . . 4  |-  ( (
normh  o.  -h  )  e.  ( * Met `  ~H )  ->  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) )  e.  (TopOn `  ~H ) )
107, 9mp1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) )  e.  (TopOn `  ~H )
)
11 hlimadd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> ~H )
12 hlimadd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  G : NN --> ~H )
13 hlimadd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>v  A )
144hhnv 21760 . . . . . . 7  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  e.  NrmCVec
15 df-hba 21565 . . . . . . 7  |-  ~H  =  ( BaseSet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
164, 14, 15, 6, 8h2hlm 21576 . . . . . 6  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( normh  o.  -h  ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
17 resss 4995 . . . . . 6  |-  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) 
C_  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )
1816, 17eqsstri 3221 . . . . 5  |-  ~~>v  C_  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) )
1918ssbri 4081 . . . 4  |-  ( F 
~~>v  A  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) ) A )
2013, 19syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) ) A )
21 hlimadd.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  ~~>v  B )
2218ssbri 4081 . . . 4  |-  ( G 
~~>v  B  ->  G ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) ) B )
2321, 22syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  G ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) ) B )
244hhva 21761 . . . . 5  |-  +h  =  ( +v `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
256, 8, 24vacn 21283 . . . 4  |-  ( <. <.  +h  ,  .h  >. , 
normh >.  e.  NrmCVec  ->  +h  e.  ( ( ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
)  tX  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
) )  Cn  ( MetOpen
`  ( normh  o.  -h  ) ) ) )
2614, 25mp1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  +h  e.  ( ( ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) )  tX  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  ) ) ) )
27 hlimadd.7 . . 3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n )  +h  ( G `  n )
) )
281, 3, 10, 10, 11, 12, 20, 23, 26, 27lmcn2 17359 . 2  |-  ( ph  ->  H ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) ) ( A  +h  B
) )
29 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> ~H  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ~H )
3011, 29sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. 
~H )
31 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( G : NN --> ~H  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `  n
)  e.  ~H )
3212, 31sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  e. 
~H )
33 hvaddcl 21608 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  ~H  /\  ( G `  n )  e.  ~H )  -> 
( ( F `  n )  +h  ( G `  n )
)  e.  ~H )
3430, 32, 33syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n )  +h  ( G `  n ) )  e. 
~H )
3534, 27fmptd 5700 . . 3  |-  ( ph  ->  H : NN --> ~H )
36 ax-hilex 21595 . . . 4  |-  ~H  e.  _V
37 nnex 9768 . . . 4  |-  NN  e.  _V
3836, 37elmap 6812 . . 3  |-  ( H  e.  ( ~H  ^m  NN )  <->  H : NN --> ~H )
3935, 38sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ~H 
^m  NN ) )
4016breqi 4045 . . 3  |-  ( H 
~~>v  ( A  +h  B
)  <->  H ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) ( A  +h  B ) )
41 ovex 5899 . . . 4  |-  ( A  +h  B )  e. 
_V
4241brres 4977 . . 3  |-  ( H ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o. 
-h  ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) ( A  +h  B )  <->  ( H
( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( normh  o.  -h  ) ) ) ( A  +h  B )  /\  H  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
4340, 42bitri 240 . 2  |-  ( H 
~~>v  ( A  +h  B
)  <->  ( H ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( normh  o.  -h  )
) ) ( A  +h  B )  /\  H  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
4428, 39, 43sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  H  ~~>v  ( A  +h  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   <.cop 3656   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    |` cres 4707    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   1c1 8754   NNcn 9762   ZZcz 10040   * Metcxmt 16385   MetOpencmopn 16388  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970   ~~> tclm 16972    tX ctx 17271   NrmCVeccnv 21156   ~Hchil 21515    +h cva 21516    .h csm 21517   normhcno 21519    -h cmv 21521    ~~>v chli 21523
This theorem is referenced by:  chscllem4  22235
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hvcom 21597  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvmulass 21603  ax-hvdistr1 21604  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his2 21678  ax-his3 21679  ax-his4 21680
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-lm 16975  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-tms 17903  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172  df-ims 21173  df-hnorm 21564  df-hba 21565  df-hvsub 21567  df-hlim 21568
  Copyright terms: Public domain W3C validator