HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimcaui Unicode version

Theorem hlimcaui 21832
Description: If a sequence in Hilbert space subset converges to a limit, it is a Cauchy sequence. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hlimcaui  |-  ( F 
~~>v  A  ->  F  e.  Cauchy )

Proof of Theorem hlimcaui
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  =  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
2 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
3 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
)
41, 2, 3hhlm 21794 . . . . . . 7  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
5 resss 4995 . . . . . . 7  |-  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) 
C_  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )
64, 5eqsstri 3221 . . . . . 6  |-  ~~>v  C_  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )
7 dmss 4894 . . . . . 6  |-  (  ~~>v  C_  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
) )  ->  dom  ~~>v  C_ 
dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) )
86, 7ax-mp 8 . . . . 5  |-  dom  ~~>v  C_  dom  (
~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
) )
91, 2hhxmet 21770 . . . . . 6  |-  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  e.  ( * Met `  ~H )
103lmcau 18754 . . . . . 6  |-  ( (
IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  e.  ( * Met `  ~H )  ->  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) 
C_  ( Cau `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )
119, 10ax-mp 8 . . . . 5  |-  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) 
C_  ( Cau `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )
128, 11sstri 3201 . . . 4  |-  dom  ~~>v  C_  ( Cau `  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) )
134dmeqi 4896 . . . . . 6  |-  dom  ~~>v  =  dom  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
14 dmres 4992 . . . . . 6  |-  dom  (
( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )  =  ( ( ~H  ^m  NN )  i^i  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) )
1513, 14eqtri 2316 . . . . 5  |-  dom  ~~>v  =  ( ( ~H  ^m  NN )  i^i  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) )
16 inss1 3402 . . . . 5  |-  ( ( ~H  ^m  NN )  i^i  dom  ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) ) )  C_  ( ~H  ^m  NN )
1715, 16eqsstri 3221 . . . 4  |-  dom  ~~>v  C_  ( ~H  ^m  NN )
1812, 17ssini 3405 . . 3  |-  dom  ~~>v  C_  (
( Cau `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )
191, 2hhcau 21793 . . 3  |-  Cauchy  =  ( ( Cau `  ( IndMet `
 <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )
2018, 19sseqtr4i 3224 . 2  |-  dom  ~~>v  C_  Cauchy
21 relres 4999 . . . 4  |-  Rel  (
( ~~> t `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
224releqi 4788 . . . 4  |-  ( Rel  ~~>v  <->  Rel  ( ( ~~> t `  ( MetOpen `  ( IndMet ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. ) ) )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) )
2321, 22mpbir 200 . . 3  |-  Rel  ~~>v
2423releldmi 4931 . 2  |-  ( F 
~~>v  A  ->  F  e.  dom 
~~>v  )
2520, 24sseldi 3191 1  |-  ( F 
~~>v  A  ->  F  e.  Cauchy )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696    i^i cin 3164    C_ wss 3165   <.cop 3656   class class class wbr 4039   dom cdm 4705    |` cres 4707   Rel wrel 4710   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   NNcn 9762   * Metcxmt 16385   MetOpencmopn 16388   ~~> tclm 16972   Caucca 18695   IndMetcims 21163   ~Hchil 21515    +h cva 21516    .h csm 21517   normhcno 21519   Cauchyccau 21522    ~~>v chli 21523
This theorem is referenced by:  isch3  21837  chscllem2  22233
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hvcom 21597  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvmulass 21603  ax-hvdistr1 21604  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his2 21678  ax-his3 21679  ax-his4 21680
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-lm 16975  df-haus 17059  df-cau 18698  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172  df-ims 21173  df-hnorm 21564  df-hvsub 21567  df-hlim 21568  df-hcau 21569
  Copyright terms: Public domain W3C validator