Theorem hlimseq 9052

Description: A sequence with a limit on a Hilbert space is a sequence.

Hypotheses

Ref	Expression
hlim.1	|- F e. V
hlim.2	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
hlimseq	|- (F ~~>v A -> F:NN-->H~)

Proof of Theorem hlimseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlim.1	. . . 4 |- F e. V
2		hlim.2	. . . 4 |- A e. V
3	1, 2	hlim 9051	. . 3 |- (F ~~>v A <-> ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x))))
4	3	pm3.26bi 322	. 2 |- (F ~~>v A -> (F:NN-->H~ /\ A e. H~))
5	4	pm3.26d 321	1 |- (F ~~>v A -> F:NN-->H~)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   class class class wbr 2624  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246   <_ cle 5307  NNcn 5308   < clt 5498  H~chil 8783   -h cmv 8787  normhcno 8789   ~~>v chli 8791

This theorem is referenced by:  hhcms 9067  hlimcaui 9101  hlimunii 9103  projlem25 9205

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-hlim 8836

Copyright terms: Public domain