HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hlimseqi Structured version   Unicode version

Theorem hlimseqi 22692
Description: A sequence with a limit on a Hilbert space is a sequence. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hlim.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
hlimseqi  |-  ( F 
~~>v  A  ->  F : NN
--> ~H )

Proof of Theorem hlimseqi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlim.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
21hlimi 22691 . . 3  |-  ( F 
~~>v  A  <->  ( ( F : NN --> ~H  /\  A  e.  ~H )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( normh `  ( ( F `  z )  -h  A
) )  <  x
) )
32simplbi 448 . 2  |-  ( F 
~~>v  A  ->  ( F : NN --> ~H  /\  A  e. 
~H ) )
43simpld 447 1  |-  ( F 
~~>v  A  ->  F : NN
--> ~H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726   A.wral 2706   E.wrex 2707   _Vcvv 2957   class class class wbr 4213   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    < clt 9121   NNcn 10001   ZZ>=cuz 10489   RR+crp 10613   ~Hchil 22423   normhcno 22427    -h cmv 22429    ~~>v chli 22431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-nn 10002  df-hlim 22476
  Copyright terms: Public domain W3C validator