MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlmul0 Unicode version

Theorem hlmul0 21602
Description: Hilbert space scalar multiplication by zero. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlmul0.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
hlmul0.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
hlmul0.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
Assertion
Ref Expression
hlmul0  |-  ( ( U  e.  CHil OLD  /\  A  e.  X )  ->  ( 0 S A )  =  Z )

Proof of Theorem hlmul0
StepHypRef Expression
1 hlnv 21584 . 2  |-  ( U  e.  CHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
2 hlmul0.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 hlmul0.4 . . 3  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
4 hlmul0.5 . . 3  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
52, 3, 4nv0 21309 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
0 S A )  =  Z )
61, 5sylan 457 1  |-  ( ( U  e.  CHil OLD  /\  A  e.  X )  ->  ( 0 S A )  =  Z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   0cc0 8827   NrmCVeccnv 21254   BaseSetcba 21256   .s OLDcns 21257   0veccn0v 21258   CHil OLDchlo 21578
This theorem is referenced by:  axhvmul0-zf  21686
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-ltxr 8962  df-grpo 20970  df-gid 20971  df-ginv 20972  df-ablo 21061  df-vc 21216  df-nv 21262  df-va 21265  df-ba 21266  df-sm 21267  df-0v 21268  df-nmcv 21270  df-cbn 21556  df-hlo 21579
  Copyright terms: Public domain W3C validator