Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat3 Unicode version

Theorem hlrelat3 30223
Description: The Hilbert lattice is relatively atomic. Stronger version of hlrelat 30213. (Contributed by NM, 2-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
hlrelat3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlrelat3.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
hlrelat3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlrelat3.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
hlrelat3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlrelat3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. p  e.  A  ( X C ( X 
.\/  p )  /\  ( X  .\/  p ) 
.<_  Y ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    K, p    .<_ , p    .< , p    X, p    Y, p
Allowed substitution hints:    C( p)    .\/ ( p)

Proof of Theorem hlrelat3
StepHypRef Expression
1 hlrelat3.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 hlrelat3.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 hlrelat3.s . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  K )
4 hlrelat3.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
51, 2, 3, 4hlrelat1 30211 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) ) )
65imp 418 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )
7 simp3l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  -.  p  .<_  X )
8 simp1l1 1048 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
9 simp1l2 1049 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  X  e.  B
)
10 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  p  e.  A
)
11 hlrelat3.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
12 hlrelat3.c . . . . . . . 8  |-  C  =  (  <o  `  K )
131, 2, 11, 12, 4cvr1 30221 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  p  e.  A )  ->  ( -.  p  .<_  X  <-> 
X C ( X 
.\/  p ) ) )
148, 9, 10, 13syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( -.  p  .<_  X  <->  X C ( X 
.\/  p ) ) )
157, 14mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  X C ( X  .\/  p ) )
16 simp1l 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
17 simp1r 980 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  X  .<  Y )
182, 3pltle 14111 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  ->  X  .<_  Y ) )
1916, 17, 18sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  X  .<_  Y )
20 simp3r 984 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  p  .<_  Y )
21 hllat 30175 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
228, 21syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Lat )
231, 4atbase 30101 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
2410, 23syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  p  e.  B
)
25 simp1l3 1050 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  B
)
261, 2, 11latjle12 14184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  p  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  p  .<_  Y )  <->  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )
2722, 9, 24, 25, 26syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( ( X 
.<_  Y  /\  p  .<_  Y )  <->  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )
2819, 20, 27mpbi2and 887 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( X  .\/  p )  .<_  Y )
2915, 28jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( X C ( X  .\/  p
)  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )
30293exp 1150 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( p  e.  A  ->  ( ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  -> 
( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) ) ) )
3130reximdvai 2666 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  ->  E. p  e.  A  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) ) )
326, 31mpd 14 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. p  e.  A  ( X C ( X 
.\/  p )  /\  ( X  .\/  p ) 
.<_  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   ltcplt 14091   joincjn 14094   Latclat 14167    <o ccvr 30074   Atomscatm 30075   HLchlt 30162
This theorem is referenced by:  cvrval3  30224  athgt  30267  llnle  30329  lplnle  30351  llncvrlpln2  30368  lplncvrlvol2  30426  lhprelat3N  30851
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163
  Copyright terms: Public domain W3C validator