Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlrelat3 Structured version   Unicode version

Theorem hlrelat3 30209
Description: The Hilbert lattice is relatively atomic. Stronger version of hlrelat 30199. (Contributed by NM, 2-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlrelat3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
hlrelat3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
hlrelat3.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
hlrelat3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
hlrelat3.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
hlrelat3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
hlrelat3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. p  e.  A  ( X C ( X 
.\/  p )  /\  ( X  .\/  p ) 
.<_  Y ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    K, p    .<_ , p    .< , p    X, p    Y, p
Allowed substitution hints:    C( p)    .\/ ( p)

Proof of Theorem hlrelat3
StepHypRef Expression
1 hlrelat3.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 hlrelat3.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 hlrelat3.s . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  K )
4 hlrelat3.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
51, 2, 3, 4hlrelat1 30197 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) ) )
65imp 419 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )
7 simp3l 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  -.  p  .<_  X )
8 simp1l1 1050 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
9 simp1l2 1051 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  X  e.  B
)
10 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  p  e.  A
)
11 hlrelat3.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
12 hlrelat3.c . . . . . . . 8  |-  C  =  (  <o  `  K )
131, 2, 11, 12, 4cvr1 30207 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  p  e.  A )  ->  ( -.  p  .<_  X  <-> 
X C ( X 
.\/  p ) ) )
148, 9, 10, 13syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( -.  p  .<_  X  <->  X C ( X 
.\/  p ) ) )
157, 14mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  X C ( X  .\/  p ) )
16 simp1l 981 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
17 simp1r 982 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  X  .<  Y )
182, 3pltle 14418 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<  Y  ->  X  .<_  Y ) )
1916, 17, 18sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  X  .<_  Y )
20 simp3r 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  p  .<_  Y )
21 hllat 30161 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
228, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Lat )
231, 4atbase 30087 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
2410, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  p  e.  B
)
25 simp1l3 1052 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  B
)
261, 2, 11latjle12 14491 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  p  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  p  .<_  Y )  <->  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )
2722, 9, 24, 25, 26syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( ( X 
.<_  Y  /\  p  .<_  Y )  <->  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )
2819, 20, 27mpbi2and 888 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( X  .\/  p )  .<_  Y )
2915, 28jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) )  ->  ( X C ( X  .\/  p
)  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )
30293exp 1152 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( p  e.  A  ->  ( ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  -> 
( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) ) ) )
3130reximdvai 2816 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  ->  E. p  e.  A  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) ) )
326, 31mpd 15 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<  Y )  ->  E. p  e.  A  ( X C ( X 
.\/  p )  /\  ( X  .\/  p ) 
.<_  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   lecple 13536   ltcplt 14398   joincjn 14401   Latclat 14474    <o ccvr 30060   Atomscatm 30061   HLchlt 30148
This theorem is referenced by:  cvrval3  30210  athgt  30253  llnle  30315  lplnle  30337  llncvrlpln2  30354  lplncvrlvol2  30412  lhprelat3N  30837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149
  Copyright terms: Public domain W3C validator