HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmdmadj Structured version   Unicode version

Theorem hmdmadj 23443
Description: Every Hermitian operator has an adjoint. (Contributed by NM, 24-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmdmadj  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T  e.  dom  adjh )

Proof of Theorem hmdmadj
StepHypRef Expression
1 hmopf 23377 . . . 4  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
2 hon0 23296 . . . 4  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  -.  T  =  (/) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  -.  T  =  (/) )
4 hmopadj 23442 . . . 4  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  ( adjh `  T )  =  T )
54eqeq1d 2444 . . 3  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  ( ( adjh `  T )  =  (/) 
<->  T  =  (/) ) )
63, 5mtbird 293 . 2  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  -.  ( adjh `  T )  =  (/) )
7 ndmfv 5755 . 2  |-  ( -.  T  e.  dom  adjh  -> 
( adjh `  T )  =  (/) )
86, 7nsyl2 121 1  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T  e.  dom  adjh )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   (/)c0 3628   dom cdm 4878   -->wf 5450   ` cfv 5454   ~Hchil 22422   HrmOpcho 22453   adjhcado 22458
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-hilex 22502  ax-hfvadd 22503  ax-hvcom 22504  ax-hvass 22505  ax-hv0cl 22506  ax-hvaddid 22507  ax-hfvmul 22508  ax-hvmulid 22509  ax-hvdistr2 22512  ax-hvmul0 22513  ax-hfi 22581  ax-his1 22584  ax-his2 22585  ax-his3 22586  ax-his4 22587
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-2 10058  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-hvsub 22474  df-hmop 23347  df-adjh 23352
  Copyright terms: Public domain W3C validator