Theorem hmeobc 10528

Description: A homeomorphism is a bicontinuous bijection.

Hypotheses

Ref	Expression
hmeobc.1	|- X = U.J
hmeobc.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
hmeobc	|- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) -> (F e. (J Homeo K) <-> (F:X-1-1-onto->Y /\ F e. (J Cn K) /\ `'F e. (K Cn J))))

Proof of Theorem hmeobc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simp1 790	. . . . 5 |- ((F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) -> F:X-1-1-onto->Y)
2	1	adantl 390	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J)) -> F:X-1-1-onto->Y)
3		f1of 3695	. . . . . . 7 |- (F:X-1-1-onto->Y -> F:X-->Y)
4	3	3ad2ant1 802	. . . . . 6 |- ((F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) -> F:X-->Y)
5	4	adantl 390	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J)) -> F:X-->Y)
6		3simp3 792	. . . . . 6 |- ((F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) -> A.x e. K (`'F"x) e. J)
7	6	adantl 390	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J)) -> A.x e. K (`'F"x) e. J)
8	5, 7	jca 288	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J)) -> (F:X-->Y /\ A.x e. K (`'F"x) e. J))
9		f1ocnv 3707	. . . . . . . 8 |- (F:X-1-1-onto->Y -> `'F:Y-1-1-onto->X)
10		f1of 3695	. . . . . . . 8 |- (`'F:Y-1-1-onto->X -> `'F:Y-->X)
11	9, 10	syl 10	. . . . . . 7 |- (F:X-1-1-onto->Y -> `'F:Y-->X)
12	11	3ad2ant1 802	. . . . . 6 |- ((F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) -> `'F:Y-->X)
13	12	adantl 390	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J)) -> `'F:Y-->X)
14		imacnvcnv 3501	. . . . . . . . . . 11 |- (`'`'F"x) = (F"x)
15	14	eqcomi 1482	. . . . . . . . . 10 |- (F"x) = (`'`'F"x)
16	15	eleq1i 1540	. . . . . . . . 9 |- ((F"x) e. K <-> (`'`'F"x) e. K)
17	16	ralbii 1670	. . . . . . . 8 |- (A.x e. J (F"x) e. K <-> A.x e. J (`'`'F"x) e. K)
18	17	biimp 151	. . . . . . 7 |- (A.x e. J (F"x) e. K -> A.x e. J (`'`'F"x) e. K)
19	18	3ad2ant2 803	. . . . . 6 |- ((F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) -> A.x e. J (`'`'F"x) e. K)
20	19	adantl 390	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J)) -> A.x e. J (`'`'F"x) e. K)
21	13, 20	jca 288	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J)) -> (`'F:Y-->X /\ A.x e. J (`'`'F"x) e. K))
22	2, 8, 21	3jca 821	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J)) -> (F:X-1-1-onto->Y /\ (F:X-->Y /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) /\ (`'F:Y-->X /\ A.x e. J (`'`'F"x) e. K)))
23		3simp1 790	. . . . 5 |- ((F:X-1-1-onto->Y /\ (F:X-->Y /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) /\ (`'F:Y-->X /\ A.x e. J (`'`'F"x) e. K)) -> F:X-1-1-onto->Y)
24	23	adantl 390	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ (F:X-1-1-onto->Y /\ (F:X-->Y /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) /\ (`'F:Y-->X /\ A.x e. J (`'`'F"x) e. K))) -> F:X-1-1-onto->Y)
25		frel 3636	. . . . . . . . 9 |- (F:X-->Y -> Rel F)
26	14	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Rel F -> (`'`'F"x) = (F"x))
27	26	eleq1d 1543	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Rel F -> ((`'`'F"x) e. K <-> (F"x) e. K))
28	27	ralbidv 1666	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Rel F -> (A.x e. J (`'`'F"x) e. K <-> A.x e. J (F"x) e. K))
29	28	biimpcd 155	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.x e. J (`'`'F"x) e. K -> (Rel F -> A.x e. J (F"x) e. K))
30	29	adantl 390	. . . . . . . . . . 11 |- ((`'F:Y-->X /\ A.x e. J (`'`'F"x) e. K) -> (Rel F -> A.x e. J (F"x) e. K))
31	30	com12 11	. . . . . . . . . 10 |- (Rel F -> ((`'F:Y-->X /\ A.x e. J (`'`'F"x) e. K) -> A.x e. J (F"x) e. K))
32	31	a1d 12	. . . . . . . . 9 |- (Rel F -> (A.x e. K (`'F"x) e. J -> ((`'F:Y-->X /\ A.x e. J (`'`'F"x) e. K) -> A.x e. J (F"x) e. K)))
33	25, 32	syl 10	. . . . . . . 8 |- (F:X-->Y -> (A.x e. K (`'F"x) e. J -> ((`'F:Y-->X /\ A.x e. J (`'`'F"x) e. K) -> A.x e. J (F"x) e. K)))
34	33	imp 350	. . . . . . 7 |- ((F:X-->Y /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) -> ((`'F:Y-->X /\ A.x e. J (`'`'F"x) e. K) -> A.x e. J (F"x) e. K))
35	34	a1i 8	. . . . . 6 |- (F:X-1-1-onto->Y -> ((F:X-->Y /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) -> ((`'F:Y-->X /\ A.x e. J (`'`'F"x) e. K) -> A.x e. J (F"x) e. K)))
36	35	3imp 829	. . . . 5 |- ((F:X-1-1-onto->Y /\ (F:X-->Y /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) /\ (`'F:Y-->X /\ A.x e. J (`'`'F"x) e. K)) -> A.x e. J (F"x) e. K)
37	36	adantl 390	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ (F:X-1-1-onto->Y /\ (F:X-->Y /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) /\ (`'F:Y-->X /\ A.x e. J (`'`'F"x) e. K))) -> A.x e. J (F"x) e. K)
38		simprr 417	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ (F:X-->Y /\ A.x e. K (`'F"x) e. J)) -> A.x e. K (`'F"x) e. J)
39	38	3ad2antr2 815	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ (F:X-1-1-onto->Y /\ (F:X-->Y /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) /\ (`'F:Y-->X /\ A.x e. J (`'`'F"x) e. K))) -> A.x e. K (`'F"x) e. J)
40	24, 37, 39	3jca 821	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) /\ (F:X-1-1-onto->Y /\ (F:X-->Y /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) /\ (`'F:Y-->X /\ A.x e. J (`'`'F"x) e. K))) -> (F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J))
41	22, 40	impbida 521	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. A) -> ((F:X-1-1-onto->Y /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) <-> (F:X-1-1-onto->Y /\ (F:X-->Y /\ A.x e. K (`'F"x) e. J) /\ (`'F:Y-->X /\ A.x e. J (`'`'F"x) e. K))))
42		hmeobc.1	. . 3 |- X = U.J
43		hmeobc.2	. . 3 |- Y = U.K
44	42, 43	ishomeo 10503	. 2</