Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hmeoclda Unicode version

Theorem hmeoclda 26028
Description: Homeomorphisms preserve closedness. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
hmeoclda  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( F " S
)  e.  ( Clsd `  K ) )

Proof of Theorem hmeoclda
StepHypRef Expression
1 hmeocnvcn 17715 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) )
213ad2ant3 980 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Homeo  K ) )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) )
3 imacnvcnv 5275 . . 3  |-  ( `' `' F " S )  =  ( F " S )
4 cnclima 17255 . . 3  |-  ( ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( `' `' F " S )  e.  (
Clsd `  K )
)
53, 4syl5eqelr 2473 . 2  |-  ( ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( F " S
)  e.  ( Clsd `  K ) )
62, 5sylan 458 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( F " S
)  e.  ( Clsd `  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717   `'ccnv 4818   "cima 4822   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Topctop 16882   Clsdccld 17004    Cn ccn 17211    Homeo chmeo 17707
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-map 6957  df-top 16887  df-topon 16890  df-cld 17007  df-cn 17214  df-hmeo 17709
  Copyright terms: Public domain W3C validator