Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hmeoclda Structured version   Unicode version

Theorem hmeoclda 26290
Description: Homeomorphisms preserve closedness. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
hmeoclda  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( F " S
)  e.  ( Clsd `  K ) )

Proof of Theorem hmeoclda
StepHypRef Expression
1 hmeocnvcn 17783 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) )
213ad2ant3 980 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Homeo  K ) )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) )
3 imacnvcnv 5326 . . 3  |-  ( `' `' F " S )  =  ( F " S )
4 cnclima 17322 . . 3  |-  ( ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( `' `' F " S )  e.  (
Clsd `  K )
)
53, 4syl5eqelr 2520 . 2  |-  ( ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( F " S
)  e.  ( Clsd `  K ) )
62, 5sylan 458 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  F  e.  ( J  Homeo  K ) )  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( F " S
)  e.  ( Clsd `  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725   `'ccnv 4869   "cima 4873   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Topctop 16948   Clsdccld 17070    Cn ccn 17278    Homeo chmeo 17775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-top 16953  df-topon 16956  df-cld 17073  df-cn 17281  df-hmeo 17777
  Copyright terms: Public domain W3C validator