Theorem hmeocna 10505

Description: The image of an open set by the converse of a homeomorphism is an open set.

Assertion

Ref	Expression
hmeocna	|- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Homeo K) -> A.x e. K (`'F"x) e. J))

Distinct variable groups:   x,F   x,J   x,K

Proof of Theorem hmeocna

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . . . . . 7 |- U.J = U.J
2		eqid 1478	. . . . . . 7 |- U.K = U.K
3	1, 2	ishomeo 10503	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Homeo K)) -> (F e. (J Homeo K) <-> (F:U.J-1-1-onto->U.K /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J)))
4	3	biimpa 418	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Homeo K)) /\ F e. (J Homeo K)) -> (F:U.J-1-1-onto->U.K /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J))
5	4	3simp3d 798	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Homeo K)) /\ F e. (J Homeo K)) -> A.x e. K (`'F"x) e. J)
6	5	3exp1 851	. . 3 |- (J e. Top -> (K e. Top -> (F e. (J Homeo K) -> (F e. (J Homeo K) -> A.x e. K (`'F"x) e. J))))
7	6	imp 350	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Homeo K) -> (F e. (J Homeo K) -> A.x e. K (`'F"x) e. J)))
8	7	pm2.43d 65	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Homeo K) -> A.x e. K (`'F"x) e. J))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   e. wcel 960  A.wral 1648  U.cuni 2507  `'ccnv 3175  "cima 3179  -1-1-onto->wf1o 3187  (class class class)co 3969  Topctop 7590   Homeo chomeosm 10499

This theorem is referenced by:  cmphmp 10507  cnvhmpha 10511  cnvhmphb 10512

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-homeo 10501

Copyright terms: Public domain