Theorem hmeocnb 10520

Description: The image of an open set by a homeomorphism is an open set.

Assertion

Ref	Expression
hmeocnb	|- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Homeo K) -> A.x e. J (F"x) e. K))

Distinct variable groups:   x,F   x,J   x,K

Proof of Theorem hmeocnb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . . . . . 7 |- U.J = U.J
2		eqid 1475	. . . . . . 7 |- U.K = U.K
3	1, 2	ishomeo 10517	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Homeo K)) -> (F e. (J Homeo K) <-> (F:U.J-1-1-onto->U.K /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J)))
4	3	biimpa 416	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Homeo K)) /\ F e. (J Homeo K)) -> (F:U.J-1-1-onto->U.K /\ A.x e. J (F"x) e. K /\ A.x e. K (`'F"x) e. J))
5	4	3simp2d 795	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Homeo K)) /\ F e. (J Homeo K)) -> A.x e. J (F"x) e. K)
6	5	3exp1 849	. . 3 |- (J e. Top -> (K e. Top -> (F e. (J Homeo K) -> (F e. (J Homeo K) -> A.x e. J (F"x) e. K))))
7	6	imp 350	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Homeo K) -> (F e. (J Homeo K) -> A.x e. J (F"x) e. K)))
8	7	pm2.43d 65	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (F e. (J Homeo K) -> A.x e. J (F"x) e. K))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   e. wcel 958  A.wral 1645  U.cuni 2503  `'ccnv 3169  "cima 3173  -1-1-onto->wf1o 3181  (class class class)co 3963  Topctop 7588   Homeo chomeosm 10513

This theorem is referenced by:  cmphmp 10521  cnvhmpha 10525  cnvhmphb 10526

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-homeo 10515

Copyright terms: Public domain