MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeocnv Unicode version

Theorem hmeocnv 17509
Description: The converse of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmeocnv  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  `' F  e.  ( K  Homeo  J ) )

Proof of Theorem hmeocnv
StepHypRef Expression
1 hmeocnvcn 17508 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) )
2 hmeocn 17507 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
3 eqid 2316 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
4 eqid 2316 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
53, 4cnf 17032 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
6 frel 5430 . . . . 5  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  Rel  F )
72, 5, 63syl 18 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  Rel  F )
8 dfrel2 5161 . . . 4  |-  ( Rel 
F  <->  `' `' F  =  F
)
97, 8sylib 188 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  `' `' F  =  F )
109, 2eqeltrd 2390 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  `' `' F  e.  ( J  Cn  K ) )
11 ishmeo 17506 . 2  |-  ( `' F  e.  ( K 
Homeo  J )  <->  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  /\  `' `' F  e.  ( J  Cn  K ) ) )
121, 10, 11sylanbrc 645 1  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  `' F  e.  ( K  Homeo  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701   U.cuni 3864   `'ccnv 4725   Rel wrel 4731   -->wf 5288  (class class class)co 5900    Cn ccn 17010    Homeo chmeo 17500
This theorem is referenced by:  hmeocnvb  17521  hmphsym  17529  xpstopnlem2  17558
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-map 6817  df-top 16692  df-topon 16695  df-cn 17013  df-hmeo 17502
  Copyright terms: Public domain W3C validator