MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeof1o Structured version   Unicode version

Theorem hmeof1o 17788
Description: A homeomorphism is a 1-1-onto mapping. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
hmeof1o.1  |-  X  = 
U. J
hmeof1o.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
hmeof1o  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )

Proof of Theorem hmeof1o
StepHypRef Expression
1 hmeocn 17784 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
2 cntop1 17296 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
3 hmeof1o.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
43toptopon 16990 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
52, 4sylib 189 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
6 cntop2 17297 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
7 hmeof1o.2 . . . . . 6  |-  Y  = 
U. K
87toptopon 16990 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
96, 8sylib 189 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
105, 9jca 519 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) ) )
111, 10syl 16 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) ) )
12 hmeof1o2 17787 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( J  Homeo  K ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y
)
13123expia 1155 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F : X -1-1-onto-> Y
) )
1411, 13mpcom 34 1  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   U.cuni 4007   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Topctop 16950  TopOnctopon 16951    Cn ccn 17280    Homeo chmeo 17777
This theorem is referenced by:  hmeoopn  17790  hmeocld  17791  hmeontr  17793  hmeoimaf1o  17794  hmeoqtop  17799  haushmphlem  17811  cmphmph  17812  conhmph  17813  reghmph  17817  nrmhmph  17818  hmphdis  17820  hmphen2  17823  cmphaushmeo  17824  txhmeo  17827  tpr2rico  24302  mndpluscn  24304
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-top 16955  df-topon 16958  df-cn 17283  df-hmeo 17779
  Copyright terms: Public domain W3C validator