MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeof1o Unicode version

Theorem hmeof1o 17455
Description: A homeomorphism is a 1-1-onto mapping. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
hmeof1o.1  |-  X  = 
U. J
hmeof1o.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
hmeof1o  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )

Proof of Theorem hmeof1o
StepHypRef Expression
1 hmeocn 17451 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
2 cntop1 16970 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
3 hmeof1o.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
43toptopon 16671 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
52, 4sylib 188 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
6 cntop2 16971 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
7 hmeof1o.2 . . . . . 6  |-  Y  = 
U. K
87toptopon 16671 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
96, 8sylib 188 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
105, 9jca 518 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) ) )
111, 10syl 15 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) ) )
12 hmeof1o2 17454 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  ( J  Homeo  K ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y
)
13123expia 1153 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F : X -1-1-onto-> Y
) )
1411, 13mpcom 32 1  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   U.cuni 3827   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    Homeo chmeo 17444
This theorem is referenced by:  hmeoopn  17457  hmeocld  17458  hmeontr  17460  hmeoimaf1o  17461  hmeoqtop  17466  haushmphlem  17478  cmphmph  17479  conhmph  17480  reghmph  17484  nrmhmph  17485  hmphdis  17487  hmphen2  17490  cmphaushmeo  17491  txhmeo  17494  tpr2rico  23296  mndpluscn  23299  hmeogrpi  25536
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-cn 16957  df-hmeo 17446
  Copyright terms: Public domain W3C validator