Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hmeogrpi Unicode version

Theorem hmeogrpi 25536
Description: Lemma for hmeogrp 25537. (Contributed by FL, 31-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
hmeogrp.1  |-  G  =  ( x  e.  ( J  Homeo  J ) ,  y  e.  ( J  Homeo  J )  |->  ( x  o.  y ) )
hmeogrpi.2  |-  J  e. 
Top
Assertion
Ref Expression
hmeogrpi  |-  G  e. 
GrpOp
Distinct variable group:    x, y, J
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem hmeogrpi
Dummy variables  f 
g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 5883 . 2  |-  ( J 
Homeo  J )  e.  _V
2 hmeoco 17463 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  x  e.  ( J  Homeo  J ) )  ->  ( x  o.  y )  e.  ( J  Homeo  J )
)
32ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  y  e.  ( J  Homeo  J ) )  ->  ( x  o.  y )  e.  ( J  Homeo  J )
)
43rgen2a 2609 . . 3  |-  A. x  e.  ( J  Homeo  J ) A. y  e.  ( J  Homeo  J )
( x  o.  y
)  e.  ( J 
Homeo  J )
5 hmeogrp.1 . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( J  Homeo  J ) ,  y  e.  ( J  Homeo  J )  |->  ( x  o.  y ) )
65fmpt2 6191 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( J  Homeo  J ) A. y  e.  ( J  Homeo  J ) ( x  o.  y
)  e.  ( J 
Homeo  J )  <->  G :
( ( J  Homeo  J )  X.  ( J 
Homeo  J ) ) --> ( J  Homeo  J )
)
74, 6mpbi 199 . 2  |-  G :
( ( J  Homeo  J )  X.  ( J 
Homeo  J ) ) --> ( J  Homeo  J )
8 coass 5191 . . . 4  |-  ( ( f  o.  g )  o.  h )  =  ( f  o.  (
g  o.  h ) )
9 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  g  e.  ( J  Homeo  J )  /\  h  e.  ( J  Homeo  J )
)  ->  g  e.  ( J  Homeo  J ) )
10 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  g  e.  ( J  Homeo  J )  /\  h  e.  ( J  Homeo  J )
)  ->  f  e.  ( J  Homeo  J ) )
11 hmeoco 17463 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  f  e.  ( J  Homeo  J ) )  ->  ( f  o.  g )  e.  ( J  Homeo  J )
)
129, 10, 11syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  g  e.  ( J  Homeo  J )  /\  h  e.  ( J  Homeo  J )
)  ->  ( f  o.  g )  e.  ( J  Homeo  J )
)
13 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  g  e.  ( J  Homeo  J )  /\  h  e.  ( J  Homeo  J )
)  ->  h  e.  ( J  Homeo  J ) )
145hmeogrplem 25535 . . . . 5  |-  ( ( ( f  o.  g
)  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  h  e.  ( J  Homeo  J ) )  ->  ( (
f  o.  g ) G h )  =  ( ( f  o.  g )  o.  h
) )
1512, 13, 14syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( f  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  g  e.  ( J  Homeo  J )  /\  h  e.  ( J  Homeo  J )
)  ->  ( (
f  o.  g ) G h )  =  ( ( f  o.  g )  o.  h
) )
16 hmeoco 17463 . . . . . 6  |-  ( ( h  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  g  e.  ( J  Homeo  J ) )  ->  ( g  o.  h )  e.  ( J  Homeo  J )
)
1713, 9, 16syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  g  e.  ( J  Homeo  J )  /\  h  e.  ( J  Homeo  J )
)  ->  ( g  o.  h )  e.  ( J  Homeo  J )
)
185hmeogrplem 25535 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  (
g  o.  h )  e.  ( J  Homeo  J ) )  ->  (
f G ( g  o.  h ) )  =  ( f  o.  ( g  o.  h
) ) )
1910, 17, 18syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( f  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  g  e.  ( J  Homeo  J )  /\  h  e.  ( J  Homeo  J )
)  ->  ( f G ( g  o.  h ) )  =  ( f  o.  (
g  o.  h ) ) )
208, 15, 193eqtr4a 2341 . . 3  |-  ( ( f  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  g  e.  ( J  Homeo  J )  /\  h  e.  ( J  Homeo  J )
)  ->  ( (
f  o.  g ) G h )  =  ( f G ( g  o.  h ) ) )
215hmeogrplem 25535 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  g  e.  ( J  Homeo  J ) )  ->  ( f G g )  =  ( f  o.  g
) )
22213adant3 975 . . . 4  |-  ( ( f  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  g  e.  ( J  Homeo  J )  /\  h  e.  ( J  Homeo  J )
)  ->  ( f G g )  =  ( f  o.  g
) )
2322oveq1d 5873 . . 3  |-  ( ( f  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  g  e.  ( J  Homeo  J )  /\  h  e.  ( J  Homeo  J )
)  ->  ( (
f G g ) G h )  =  ( ( f  o.  g ) G h ) )
245hmeogrplem 25535 . . . . 5  |-  ( ( g  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  h  e.  ( J  Homeo  J ) )  ->  ( g G h )  =  ( g  o.  h
) )
25243adant1 973 . . . 4  |-  ( ( f  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  g  e.  ( J  Homeo  J )  /\  h  e.  ( J  Homeo  J )
)  ->  ( g G h )  =  ( g  o.  h
) )
2625oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ( f  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  g  e.  ( J  Homeo  J )  /\  h  e.  ( J  Homeo  J )
)  ->  ( f G ( g G h ) )  =  ( f G ( g  o.  h ) ) )
2720, 23, 263eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( f  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  g  e.  ( J  Homeo  J )  /\  h  e.  ( J  Homeo  J )
)  ->  ( (
f G g ) G h )  =  ( f G ( g G h ) ) )
28 hmeogrpi.2 . . . 4  |-  J  e. 
Top
29 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
3029toptopon 16671 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
3128, 30mpbi 199 . . 3  |-  J  e.  (TopOn `  U. J )
32 idhmeo 17464 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  (  _I  |`  U. J )  e.  ( J  Homeo  J ) )
3331, 32ax-mp 8 . 2  |-  (  _I  |`  U. J )  e.  ( J  Homeo  J )
345hmeogrplem 25535 . . . 4  |-  ( ( (  _I  |`  U. J
)  e.  ( J 
Homeo  J )  /\  f  e.  ( J  Homeo  J ) )  ->  ( (  _I  |`  U. J ) G f )  =  ( (  _I  |`  U. J
)  o.  f ) )
3533, 34mpan 651 . . 3  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  J )  ->  ( (  _I  |`  U. J ) G f )  =  ( (  _I  |`  U. J
)  o.  f ) )
3629, 29hmeof1o 17455 . . . 4  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  J )  ->  f : U. J -1-1-onto-> U. J )
37 f1of 5472 . . . 4  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. J  ->  f : U. J --> U. J )
38 fcoi2 5416 . . . 4  |-  ( f : U. J --> U. J  ->  ( (  _I  |`  U. J
)  o.  f )  =  f )
3936, 37, 383syl 18 . . 3  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  J )  ->  ( (  _I  |`  U. J )  o.  f )  =  f )
4035, 39eqtrd 2315 . 2  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  J )  ->  ( (  _I  |`  U. J ) G f )  =  f )
41 hmeocnv 17453 . 2  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  J )  ->  `' f  e.  ( J  Homeo  J ) )
425hmeogrplem 25535 . . . 4  |-  ( ( `' f  e.  ( J  Homeo  J )  /\  f  e.  ( J  Homeo  J ) )  -> 
( `' f G f )  =  ( `' f  o.  f
) )
4341, 42mpancom 650 . . 3  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  J )  ->  ( `' f G f )  =  ( `' f  o.  f ) )
44 f1ococnv1 5502 . . . 4  |-  ( f : U. J -1-1-onto-> U. J  ->  ( `' f  o.  f )  =  (  _I  |`  U. J ) )
4536, 44syl 15 . . 3  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  J )  ->  ( `' f  o.  f )  =  (  _I  |`  U. J
) )
4643, 45eqtrd 2315 . 2  |-  ( f  e.  ( J  Homeo  J )  ->  ( `' f G f )  =  (  _I  |`  U. J
) )
471, 7, 27, 33, 40, 41, 46isgrpoi 20865 1  |-  G  e. 
GrpOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   U.cuni 3827    _I cid 4304    X. cxp 4687   `'ccnv 4688    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Homeo chmeo 17444   GrpOpcgr 20853
This theorem is referenced by:  hmeogrp  25537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-cn 16957  df-hmeo 17446  df-grpo 20858
  Copyright terms: Public domain W3C validator