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Theorem hmeoimaf1o 17716
Description: The function mapping open sets to their images under a homeomorphism is a bijection of topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeoimaf1o.1  |-  G  =  ( x  e.  J  |->  ( F " x
) )
Assertion
Ref Expression
hmeoimaf1o  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  G : J
-1-1-onto-> K )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    x, K
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem hmeoimaf1o
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmeoimaf1o.1 . 2  |-  G  =  ( x  e.  J  |->  ( F " x
) )
2 hmeoima 17711 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  x  e.  J )  ->  ( F " x )  e.  K )
3 hmeocn 17706 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
4 cnima 17244 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  y  e.  K )  ->  ( `' F "
y )  e.  J
)
53, 4sylan 458 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  y  e.  K )  ->  ( `' F " y )  e.  J )
6 eqid 2380 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
7 eqid 2380 . . . . . . 7  |-  U. K  =  U. K
86, 7hmeof1o 17710 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F : U. J -1-1-onto-> U. K )
98adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  F : U. J -1-1-onto-> U. K )
10 f1of1 5606 . . . . 5  |-  ( F : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  F : U. J -1-1-> U. K )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  F : U. J -1-1-> U. K )
12 elssuni 3978 . . . . 5  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
1312ad2antrl 709 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  x  C_  U. J
)
14 cnvimass 5157 . . . . 5  |-  ( `' F " y ) 
C_  dom  F
15 f1dm 5576 . . . . . 6  |-  ( F : U. J -1-1-> U. K  ->  dom  F  =  U. J )
1611, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  dom  F  = 
U. J )
1714, 16syl5sseq 3332 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  ( `' F " y )  C_  U. J )
18 f1imaeq 5943 . . . 4  |-  ( ( F : U. J -1-1-> U. K  /\  ( x 
C_  U. J  /\  ( `' F " y ) 
C_  U. J ) )  ->  ( ( F
" x )  =  ( F " ( `' F " y ) )  <->  x  =  ( `' F " y ) ) )
1911, 13, 17, 18syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  ( ( F " x )  =  ( F " ( `' F " y ) )  <->  x  =  ( `' F " y ) ) )
20 f1ofo 5614 . . . . . . 7  |-  ( F : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  F : U. J -onto-> U. K )
219, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  F : U. J -onto-> U. K )
22 elssuni 3978 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  K  ->  y  C_ 
U. K )
2322ad2antll 710 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  y  C_  U. K )
24 foimacnv 5625 . . . . . 6  |-  ( ( F : U. J -onto-> U. K  /\  y  C_ 
U. K )  -> 
( F " ( `' F " y ) )  =  y )
2521, 23, 24syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  ( F " ( `' F "
y ) )  =  y )
2625eqeq2d 2391 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  ( ( F " x )  =  ( F " ( `' F " y ) )  <->  ( F "
x )  =  y ) )
27 eqcom 2382 . . . 4  |-  ( ( F " x )  =  y  <->  y  =  ( F " x ) )
2826, 27syl6bb 253 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  ( ( F " x )  =  ( F " ( `' F " y ) )  <->  y  =  ( F " x ) ) )
2919, 28bitr3d 247 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  ( x  =  ( `' F " y )  <->  y  =  ( F " x ) ) )
301, 2, 5, 29f1o2d 6228 1  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  G : J
-1-1-onto-> K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3256   U.cuni 3950    e. cmpt 4200   `'ccnv 4810   dom cdm 4811   "cima 4814   -1-1->wf1 5384   -onto->wfo 5385   -1-1-onto->wf1o 5386  (class class class)co 6013    Cn ccn 17203    Homeo chmeo 17699
This theorem is referenced by:  hmphen  17731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-map 6949  df-top 16879  df-topon 16882  df-cn 17206  df-hmeo 17701
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