Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeoimaf1o Unicode version

Theorem hmeoimaf1o 17477
 Description: The function mapping open sets to their images under a homeomorphism is a bijection of topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeoimaf1o.1
Assertion
Ref Expression
hmeoimaf1o
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem hmeoimaf1o
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmeoimaf1o.1 . 2
2 hmeoima 17472 . 2
3 hmeocn 17467 . . 3
4 cnima 17010 . . 3
53, 4sylan 457 . 2
6 eqid 2296 . . . . . . 7
7 eqid 2296 . . . . . . 7
86, 7hmeof1o 17471 . . . . . 6
98adantr 451 . . . . 5
10 f1of1 5487 . . . . 5
119, 10syl 15 . . . 4
12 elssuni 3871 . . . . 5
1312ad2antrl 708 . . . 4
14 cnvimass 5049 . . . . 5
15 f1dm 5457 . . . . . 6
1611, 15syl 15 . . . . 5
1714, 16syl5sseq 3239 . . . 4
18 f1imaeq 5805 . . . 4
1911, 13, 17, 18syl12anc 1180 . . 3
20 f1ofo 5495 . . . . . . 7
219, 20syl 15 . . . . . 6
22 elssuni 3871 . . . . . . 7
2322ad2antll 709 . . . . . 6
24 foimacnv 5506 . . . . . 6
2521, 23, 24syl2anc 642 . . . . 5
2625eqeq2d 2307 . . . 4
27 eqcom 2298 . . . 4
2826, 27syl6bb 252 . . 3
2919, 28bitr3d 246 . 2
301, 2, 5, 29f1o2d 6085 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wss 3165  cuni 3843   cmpt 4093  ccnv 4704   cdm 4705  cima 4708  wf1 5268  wfo 5269  wf1o 5270  (class class class)co 5874   ccn 16970   chmeo 17460 This theorem is referenced by:  hmphen  17492 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-cn 16973  df-hmeo 17462
 Copyright terms: Public domain W3C validator