MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeoimaf1o Unicode version

Theorem hmeoimaf1o 17477
Description: The function mapping open sets to their images under a homeomorphism is a bijection of topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeoimaf1o.1  |-  G  =  ( x  e.  J  |->  ( F " x
) )
Assertion
Ref Expression
hmeoimaf1o  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  G : J
-1-1-onto-> K )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    x, K
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem hmeoimaf1o
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmeoimaf1o.1 . 2  |-  G  =  ( x  e.  J  |->  ( F " x
) )
2 hmeoima 17472 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  x  e.  J )  ->  ( F " x )  e.  K )
3 hmeocn 17467 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
4 cnima 17010 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  y  e.  K )  ->  ( `' F "
y )  e.  J
)
53, 4sylan 457 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  y  e.  K )  ->  ( `' F " y )  e.  J )
6 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
7 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  U. K  =  U. K
86, 7hmeof1o 17471 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F : U. J -1-1-onto-> U. K )
98adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  F : U. J -1-1-onto-> U. K )
10 f1of1 5487 . . . . 5  |-  ( F : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  F : U. J -1-1-> U. K )
119, 10syl 15 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  F : U. J -1-1-> U. K )
12 elssuni 3871 . . . . 5  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
1312ad2antrl 708 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  x  C_  U. J
)
14 cnvimass 5049 . . . . 5  |-  ( `' F " y ) 
C_  dom  F
15 f1dm 5457 . . . . . 6  |-  ( F : U. J -1-1-> U. K  ->  dom  F  =  U. J )
1611, 15syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  dom  F  = 
U. J )
1714, 16syl5sseq 3239 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  ( `' F " y )  C_  U. J )
18 f1imaeq 5805 . . . 4  |-  ( ( F : U. J -1-1-> U. K  /\  ( x 
C_  U. J  /\  ( `' F " y ) 
C_  U. J ) )  ->  ( ( F
" x )  =  ( F " ( `' F " y ) )  <->  x  =  ( `' F " y ) ) )
1911, 13, 17, 18syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  ( ( F " x )  =  ( F " ( `' F " y ) )  <->  x  =  ( `' F " y ) ) )
20 f1ofo 5495 . . . . . . 7  |-  ( F : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  F : U. J -onto-> U. K )
219, 20syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  F : U. J -onto-> U. K )
22 elssuni 3871 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  K  ->  y  C_ 
U. K )
2322ad2antll 709 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  y  C_  U. K )
24 foimacnv 5506 . . . . . 6  |-  ( ( F : U. J -onto-> U. K  /\  y  C_ 
U. K )  -> 
( F " ( `' F " y ) )  =  y )
2521, 23, 24syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  ( F " ( `' F "
y ) )  =  y )
2625eqeq2d 2307 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  ( ( F " x )  =  ( F " ( `' F " y ) )  <->  ( F "
x )  =  y ) )
27 eqcom 2298 . . . 4  |-  ( ( F " x )  =  y  <->  y  =  ( F " x ) )
2826, 27syl6bb 252 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  ( ( F " x )  =  ( F " ( `' F " y ) )  <->  y  =  ( F " x ) ) )
2919, 28bitr3d 246 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  K )
)  ->  ( x  =  ( `' F " y )  <->  y  =  ( F " x ) ) )
301, 2, 5, 29f1o2d 6085 1  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  G : J
-1-1-onto-> K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270  (class class class)co 5874    Cn ccn 16970    Homeo chmeo 17460
This theorem is referenced by:  hmphen  17492
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-cn 16973  df-hmeo 17462
  Copyright terms: Public domain W3C validator