Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeoimaf1o Structured version   Unicode version

Theorem hmeoimaf1o 17792
 Description: The function mapping open sets to their images under a homeomorphism is a bijection of topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeoimaf1o.1
Assertion
Ref Expression
hmeoimaf1o
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem hmeoimaf1o
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmeoimaf1o.1 . 2
2 hmeoima 17787 . 2
3 hmeocn 17782 . . 3
4 cnima 17319 . . 3
53, 4sylan 458 . 2
6 eqid 2435 . . . . . . 7
7 eqid 2435 . . . . . . 7
86, 7hmeof1o 17786 . . . . . 6
98adantr 452 . . . . 5
10 f1of1 5665 . . . . 5
119, 10syl 16 . . . 4
12 elssuni 4035 . . . . 5
1312ad2antrl 709 . . . 4
14 cnvimass 5216 . . . . 5
15 f1dm 5635 . . . . . 6
1611, 15syl 16 . . . . 5
1714, 16syl5sseq 3388 . . . 4
18 f1imaeq 6003 . . . 4
1911, 13, 17, 18syl12anc 1182 . . 3
20 f1ofo 5673 . . . . . . 7
219, 20syl 16 . . . . . 6
22 elssuni 4035 . . . . . . 7
2322ad2antll 710 . . . . . 6
24 foimacnv 5684 . . . . . 6
2521, 23, 24syl2anc 643 . . . . 5
2625eqeq2d 2446 . . . 4
27 eqcom 2437 . . . 4
2826, 27syl6bb 253 . . 3
2919, 28bitr3d 247 . 2
301, 2, 5, 29f1o2d 6288 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wss 3312  cuni 4007   cmpt 4258  ccnv 4869   cdm 4870  cima 4873  wf1 5443  wfo 5444  wf1o 5445  (class class class)co 6073   ccn 17278   chmeo 17775 This theorem is referenced by:  hmphen  17807 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-top 16953  df-topon 16956  df-cn 17281  df-hmeo 17777
 Copyright terms: Public domain W3C validator