MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeoqtop Unicode version

Theorem hmeoqtop 17466
Description: A homeomorphism is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmeoqtop  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  K  =  ( J qTop  F )
)

Proof of Theorem hmeoqtop
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmeocn 17451 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
2 cntop2 16971 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  K  e.  Top )
4 eqid 2283 . . . 4  |-  U. K  =  U. K
54toptopon 16671 . . 3  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
63, 5sylib 188 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
7 eqid 2283 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
87, 4hmeof1o 17455 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F : U. J -1-1-onto-> U. K )
9 f1ofo 5479 . . 3  |-  ( F : U. J -1-1-onto-> U. K  ->  F : U. J -onto-> U. K )
10 forn 5454 . . 3  |-  ( F : U. J -onto-> U. K  ->  ran  F  =  U. K )
118, 9, 103syl 18 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  ran  F  = 
U. K )
12 hmeoima 17456 . 2  |-  ( ( F  e.  ( J 
Homeo  K )  /\  x  e.  J )  ->  ( F " x )  e.  K )
136, 1, 11, 12qtopomap 17409 1  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  K  =  ( J qTop  F )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   U.cuni 3827   ran crn 4690   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   qTop cqtop 13406   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    Homeo chmeo 17444
This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  17502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-qtop 13410  df-top 16636  df-topon 16639  df-cn 16957  df-hmeo 17446
  Copyright terms: Public domain W3C validator