HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopadj Unicode version

Theorem hmopadj 23291
Description: A Hermitian operator is self-adjoint. (Contributed by NM, 24-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmopadj  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  ( adjh `  T )  =  T )

Proof of Theorem hmopadj
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 23226 . 2  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
2 hmop 23274 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( T `  x )  .ih  y
) )
32eqcomd 2393 . . . 4  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( T `  y ) ) )
433expib 1156 . . 3  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  ( (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( T `  y ) ) ) )
54ralrimivv 2741 . 2  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( T `
 y ) ) )
6 adjeq 23287 . 2  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( T `  x
)  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( T `  y ) ) )  ->  ( adjh `  T )  =  T )
71, 1, 5, 6syl3anc 1184 1  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  ( adjh `  T )  =  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   ~Hchil 22271    .ih csp 22274   HrmOpcho 22302   adjhcado 22307
This theorem is referenced by:  hmdmadj  23292  hmopadj2  23293  pjadj2  23539
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-hilex 22351  ax-hfvadd 22352  ax-hvcom 22353  ax-hvass 22354  ax-hv0cl 22355  ax-hvaddid 22356  ax-hfvmul 22357  ax-hvmulid 22358  ax-hvdistr2 22361  ax-hvmul0 22362  ax-hfi 22430  ax-his1 22433  ax-his2 22434  ax-his3 22435  ax-his4 22436
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-2 9991  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-hvsub 22323  df-hmop 23196  df-adjh 23201
  Copyright terms: Public domain W3C validator