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Theorem hmopco 23516
Description: The composition of two commuting Hermitian operators is Hermitian. (Contributed by NM, 22-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmopco  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  ( T  o.  U )  e.  HrmOp )

Proof of Theorem hmopco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 23367 . . . 4  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
2 hmopf 23367 . . . 4  |-  ( U  e.  HrmOp  ->  U : ~H
--> ~H )
3 fco 5592 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  U : ~H --> ~H )  ->  ( T  o.  U
) : ~H --> ~H )
41, 2, 3syl2an 464 . . 3  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  ->  ( T  o.  U ) : ~H --> ~H )
543adant3 977 . 2  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  ( T  o.  U ) : ~H --> ~H )
6 fvco3 5792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T  o.  U ) `  y
)  =  ( T `
 ( U `  y ) ) )
72, 6sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T  o.  U
) `  y )  =  ( T `  ( U `  y ) ) )
87oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  ( U `  y ) ) ) )
98ad2ant2l 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( x  .ih  ( T `
 ( U `  y ) ) ) )
10 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  T  e.  HrmOp
)
11 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  x  e.  ~H )
122ffvelrnda 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( U `  y )  e.  ~H )
1312ad2ant2l 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( U `  y )  e.  ~H )
14 hmop 23415 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H  /\  ( U `
 y )  e. 
~H )  ->  (
x  .ih  ( T `  ( U `  y
) ) )  =  ( ( T `  x )  .ih  ( U `  y )
) )
1510, 11, 13, 14syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( T `  ( U `  y )
) )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( U `  y ) ) )
16 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  U  e.  HrmOp
)
171ffvelrnda 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
1817ad2ant2r 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
19 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  y  e.  ~H )
20 hmop 23415 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  HrmOp  /\  ( T `  x )  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( U `  y ) )  =  ( ( U `  ( T `  x ) )  .ih  y ) )
2116, 18, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  .ih  ( U `  y
) )  =  ( ( U `  ( T `  x )
)  .ih  y )
)
229, 15, 213eqtrd 2471 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( U `  ( T `  x )
)  .ih  y )
)
23 fvco3 5792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( U  o.  T ) `  x
)  =  ( U `
 ( T `  x ) ) )
241, 23sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( U  o.  T
) `  x )  =  ( U `  ( T `  x ) ) )
2524oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )  =  ( ( U `
 ( T `  x ) )  .ih  y ) )
2625ad2ant2r 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( U  o.  T
) `  x )  .ih  y )  =  ( ( U `  ( T `  x )
)  .ih  y )
)
2722, 26eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )
)
28273adantl3 1115 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )
)
29 fveq1 5719 . . . . . . 7  |-  ( ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T )  ->  (
( T  o.  U
) `  x )  =  ( ( U  o.  T ) `  x ) )
3029oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T )  ->  (
( ( T  o.  U ) `  x
)  .ih  y )  =  ( ( ( U  o.  T ) `
 x )  .ih  y ) )
31303ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  ( (
( T  o.  U
) `  x )  .ih  y )  =  ( ( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )
)
3231adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( T  o.  U
) `  x )  .ih  y )  =  ( ( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )
)
3328, 32eqtr4d 2470 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( ( T  o.  U ) `  x
)  .ih  y )
)
3433ralrimivva 2790 . 2  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( ( T  o.  U ) `  x
)  .ih  y )
)
35 elhmop 23366 . 2  |-  ( ( T  o.  U )  e.  HrmOp 
<->  ( ( T  o.  U ) : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `
 y ) )  =  ( ( ( T  o.  U ) `
 x )  .ih  y ) ) )
365, 34, 35sylanbrc 646 1  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  ( T  o.  U )  e.  HrmOp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ~Hchil 22412    .ih csp 22415   HrmOpcho 22443
This theorem is referenced by:  leopsq  23622  opsqrlem4  23636  opsqrlem6  23638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-hilex 22492
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-hmop 23337
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