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Theorem hmopco 23374
Description: The composition of two commuting Hermitian operators is Hermitian. (Contributed by NM, 22-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmopco  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  ( T  o.  U )  e.  HrmOp )

Proof of Theorem hmopco
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 23225 . . . 4  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
2 hmopf 23225 . . . 4  |-  ( U  e.  HrmOp  ->  U : ~H
--> ~H )
3 fco 5540 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  U : ~H --> ~H )  ->  ( T  o.  U
) : ~H --> ~H )
41, 2, 3syl2an 464 . . 3  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  ->  ( T  o.  U ) : ~H --> ~H )
543adant3 977 . 2  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  ( T  o.  U ) : ~H --> ~H )
6 fvco3 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T  o.  U ) `  y
)  =  ( T `
 ( U `  y ) ) )
72, 6sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T  o.  U
) `  y )  =  ( T `  ( U `  y ) ) )
87oveq2d 6036 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  ->  (
x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y ) )  =  ( x  .ih  ( T `  ( U `  y ) ) ) )
98ad2ant2l 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( x  .ih  ( T `
 ( U `  y ) ) ) )
10 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  T  e.  HrmOp
)
11 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  x  e.  ~H )
122ffvelrnda 5809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( U `  y )  e.  ~H )
1312ad2ant2l 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( U `  y )  e.  ~H )
14 hmop 23273 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H  /\  ( U `
 y )  e. 
~H )  ->  (
x  .ih  ( T `  ( U `  y
) ) )  =  ( ( T `  x )  .ih  ( U `  y )
) )
1510, 11, 13, 14syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( T `  ( U `  y )
) )  =  ( ( T `  x
)  .ih  ( U `  y ) ) )
16 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  U  e.  HrmOp
)
171ffvelrnda 5809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
1817ad2ant2r 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
19 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  y  e.  ~H )
20 hmop 23273 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  HrmOp  /\  ( T `  x )  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( U `  y ) )  =  ( ( U `  ( T `  x ) )  .ih  y ) )
2116, 18, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  x )  .ih  ( U `  y
) )  =  ( ( U `  ( T `  x )
)  .ih  y )
)
229, 15, 213eqtrd 2423 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( U `  ( T `  x )
)  .ih  y )
)
23 fvco3 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( U  o.  T ) `  x
)  =  ( U `
 ( T `  x ) ) )
241, 23sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( U  o.  T
) `  x )  =  ( U `  ( T `  x ) ) )
2524oveq1d 6035 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )  =  ( ( U `
 ( T `  x ) )  .ih  y ) )
2625ad2ant2r 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( U  o.  T
) `  x )  .ih  y )  =  ( ( U `  ( T `  x )
)  .ih  y )
)
2722, 26eqtr4d 2422 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )
)
28273adantl3 1115 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )
)
29 fveq1 5667 . . . . . . 7  |-  ( ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T )  ->  (
( T  o.  U
) `  x )  =  ( ( U  o.  T ) `  x ) )
3029oveq1d 6035 . . . . . 6  |-  ( ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T )  ->  (
( ( T  o.  U ) `  x
)  .ih  y )  =  ( ( ( U  o.  T ) `
 x )  .ih  y ) )
31303ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  ( (
( T  o.  U
) `  x )  .ih  y )  =  ( ( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )
)
3231adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( (
( T  o.  U
) `  x )  .ih  y )  =  ( ( ( U  o.  T ) `  x
)  .ih  y )
)
3328, 32eqtr4d 2422 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  /\  ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( ( T  o.  U ) `  x
)  .ih  y )
)
3433ralrimivva 2741 . 2  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `  y
) )  =  ( ( ( T  o.  U ) `  x
)  .ih  y )
)
35 elhmop 23224 . 2  |-  ( ( T  o.  U )  e.  HrmOp 
<->  ( ( T  o.  U ) : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( ( T  o.  U ) `
 y ) )  =  ( ( ( T  o.  U ) `
 x )  .ih  y ) ) )
365, 34, 35sylanbrc 646 1  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  U  e.  HrmOp  /\  ( T  o.  U )  =  ( U  o.  T ) )  ->  ( T  o.  U )  e.  HrmOp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649    o. ccom 4822   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   ~Hchil 22270    .ih csp 22273   HrmOpcho 22301
This theorem is referenced by:  leopsq  23480  opsqrlem4  23494  opsqrlem6  23496
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-hilex 22350
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-map 6956  df-hmop 23195
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