Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopidmchi Structured version   Unicode version

Theorem hmopidmchi 23654
 Description: An idempotent Hermitian operator generates a closed subspace. Part of proof of Theorem of [AkhiezerGlazman] p. 64. (Contributed by NM, 21-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hmopidmch.1
hmopidmch.2
Assertion
Ref Expression
hmopidmchi

Proof of Theorem hmopidmchi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopidmch.1 . . . 4
2 hmoplin 23445 . . . 4
31, 2ax-mp 8 . . 3
43rnelshi 23562 . 2
5 eqid 2436 . . . . . . . 8
65hilxmet 22697 . . . . . . 7
7 eqid 2436 . . . . . . . 8
87methaus 18550 . . . . . . 7
96, 8mp1i 12 . . . . . 6
10 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12
1110, 5hhims 22674 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11, 7hhlm 22701 . . . . . . . . . . 11
13 resss 5170 . . . . . . . . . . 11
1412, 13eqsstri 3378 . . . . . . . . . 10
1514ssbri 4254 . . . . . . . . 9
1615adantl 453 . . . . . . . 8
177mopntopon 18469 . . . . . . . . . 10 TopOn
186, 17mp1i 12 . . . . . . . . 9 TopOn
193lnopfi 23472 . . . . . . . . . . . 12
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11
2120feqmptd 5779 . . . . . . . . . 10
22 hmopbdoptHIL 23491 . . . . . . . . . . . . 13
231, 22ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
24 lnopcnbd 23539 . . . . . . . . . . . . 13
253, 24ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
2623, 25mpbir 201 . . . . . . . . . . 11
275, 7hhcno 23407 . . . . . . . . . . 11
2826, 27eleqtri 2508 . . . . . . . . . 10
2921, 28syl6eqelr 2525 . . . . . . . . 9
3018cnmptid 17693 . . . . . . . . 9
3110hhnv 22667 . . . . . . . . . 10
3210hhvs 22672 . . . . . . . . . . 11
3311, 7, 32vmcn 22195 . . . . . . . . . 10
3431, 33mp1i 12 . . . . . . . . 9
3518, 29, 30, 34cnmpt12f 17698 . . . . . . . 8
3616, 35lmcn 17369 . . . . . . 7
37 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14
384shssii 22715 . . . . . . . . . . . . . 14
39 fss 5599 . . . . . . . . . . . . . 14
4037, 38, 39sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13
4140ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . 12
42 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . 14
43 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14
4442, 43oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . 13
45 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
46 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . 13
4744, 45, 46fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . 12
4841, 47syl 16 . . . . . . . . . . 11
49 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5019, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15
51 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
52 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5351, 52eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5453ralrn 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15
5550, 54ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
56 hmopidmch.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5756fveq1i 5729 . . . . . . . . . . . . . . 15
5819, 19hocoi 23267 . . . . . . . . . . . . . . 15
5957, 58syl5reqr 2483 . . . . . . . . . . . . . 14
6055, 59mprgbir 2776 . . . . . . . . . . . . 13
61 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . 14
6261adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13
6342, 43eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . . . 14
6463rspccv 3049 . . . . . . . . . . . . 13
6560, 62, 64mpsyl 61 . . . . . . . . . . . 12
6665, 41eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . 13
67 hvsubeq0 22570 . . . . . . . . . . . . 13
6866, 41, 67syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
6965, 68mpbird 224 . . . . . . . . . . 11
7048, 69eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10
71 fvco3 5800 . . . . . . . . . . 11
7271adantlr 696 . . . . . . . . . 10
73 ax-hv0cl 22506 . . . . . . . . . . . . 13
7473elexi 2965 . . . . . . . . . . . 12
7574fvconst2 5947 . . . . . . . . . . 11
7675adantl 453 . . . . . . . . . 10
7770, 72, 763eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9
7877ralrimiva 2789 . . . . . . . 8
79 ovex 6106 . . . . . . . . . . 11
8079, 45fnmpti 5573 . . . . . . . . . 10
81 fnfco 5609 . . . . . . . . . 10
8280, 40, 81sylancr 645 . . . . . . . . 9
8374fconst 5629 . . . . . . . . . 10
84 ffn 5591 . . . . . . . . . 10
8583, 84ax-mp 8 . . . . . . . . 9
86 eqfnfv 5827 . . . . . . . . 9
8782, 85, 86sylancl 644 . . . . . . . 8
8878, 87mpbird 224 . . . . . . 7
89 vex 2959 . . . . . . . . . 10
9089hlimveci 22692 . . . . . . . . 9
9190adantl 453 . . . . . . . 8
92 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10
93 id 20 . . . . . . . . . 10
9492, 93oveq12d 6099 . . . . . . . . 9
95 ovex 6106 . . . . . . . . 9
9694, 45, 95fvmpt 5806 . . . . . . . 8
9791, 96syl 16 . . . . . . 7
9836, 88, 973brtr3d 4241 . . . . . 6
9973a1i 11 . . . . . . 7
100 1z 10311 . . . . . . . 8
101100a1i 11 . . . . . . 7
102 nnuz 10521 . . . . . . . 8
103102lmconst 17325 . . . . . . 7 TopOn
10418, 99, 101, 103syl3anc 1184 . . . . . 6
1059, 98, 104lmmo 17444 . . . . 5
10619ffvelrni 5869 . . . . . . 7
10791, 106syl 16 . . . . . 6
108 hvsubeq0 22570 . . . . . 6
109107, 91, 108syl2anc 643 . . . . 5
110105, 109mpbid 202 . . . 4
111 fnfvelrn 5867 . . . . 5
11250, 91, 111sylancr 645 . . . 4
113110, 112eqeltrrd 2511 . . 3
114113gen2 1556 . 2
115 isch2 22726 . 2
1164, 114, 115mpbir2an 887 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705   wss 3320  csn 3814  cop 3817   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cxp 4876   crn 4879   cres 4880   ccom 4882   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmap 7018  c1 8991  cn 10000  cz 10282  cxmt 16686  cmopn 16691  TopOnctopon 16959   ccn 17288  clm 17290  cha 17372   ctx 17592  cnv 22063  chil 22422   cva 22423   csm 22424  cno 22426  c0v 22427   cmv 22428   chli 22430  csh 22431  cch 22432  ccop 22449  clo 22450  cbo 22451  cho 22453 This theorem is referenced by:  hmopidmpji  23655  hmopidmch  23656 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-dc 8326  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070  ax-hilex 22502  ax-hfvadd 22503  ax-hvcom 22504  ax-hvass 22505  ax-hv0cl 22506  ax-hvaddid 22507  ax-hfvmul 22508  ax-hvmulid 22509  ax-hvmulass 22510  ax-hvdistr1 22511  ax-hvdistr2 22512  ax-hvmul0 22513  ax-hfi 22581  ax-his1 22584  ax-his2 22585  ax-his3 22586  ax-his4 22587  ax-hcompl 22704 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-lm 17293  df-t1 17378  df-haus 17379  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-fcls 17973  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-cfil 19208  df-cau 19209  df-cmet 19210  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870  df-subgo 21890  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-vs 22078  df-nmcv 22079  df-ims 22080  df-dip 22197  df-ssp 22221  df-lno 22245  df-nmoo 22246  df-blo 22247  df-0o 22248  df-ph 22314  df-cbn 22365  df-hlo 22388  df-hnorm 22471  df-hba 22472  df-hvsub 22474  df-hlim 22475  df-hcau 22476  df-sh 22709  df-ch 22724  df-oc 22754  df-ch0 22755  df-shs 22810  df-pjh 22897  df-h0op 23251  df-nmop 23342  df-cnop 23343  df-lnop 23344  df-bdop 23345  df-unop 23346  df-hmop 23347
 Copyright terms: Public domain W3C validator