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Theorem hmoplin 23445
Description: A Hermitian operator is linear. (Contributed by NM, 24-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmoplin  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T  e.  LinOp
)

Proof of Theorem hmoplin
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 23377 . 2  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
2 simplll 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  T  e.  HrmOp )
3 hvmulcl 22516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
4 hvaddcl 22515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
53, 4sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
65adantll 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e. 
~H )
76adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
8 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  w  e.  ~H )
9 hmop 23425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( ( x  .h  y )  +h  z
)  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  .ih  w
) )
109eqcomd 2441 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  y )  +h  z )  .ih  ( T `  w ) ) )
112, 7, 8, 10syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  y )  +h  z
)  .ih  ( T `  w ) ) )
12 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  x  e.  CC )
1312ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  x  e.  CC )
14 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  y  e.  ~H )
1514ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  y  e.  ~H )
16 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  z  e.  ~H )
171ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
1817adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
1918adantllr 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
20 hiassdi 22593 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  ( z  e.  ~H  /\  ( T `  w
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  .h  y
)  +h  z ) 
.ih  ( T `  w ) )  =  ( ( x  x.  ( y  .ih  ( T `  w )
) )  +  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) ) )
2113, 15, 16, 19, 20syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .h  y )  +h  z )  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( x  x.  ( y 
.ih  ( T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( T `  w ) ) ) )
221ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
2322adantrl 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
2423ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
251ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
2625adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
2726adantllr 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
28 hiassdi 22593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y
)  e.  ~H )  /\  ( ( T `  z )  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) 
.ih  w )  =  ( ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  +  ( ( T `  z
)  .ih  w )
) )
2913, 24, 27, 8, 28syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) )  .ih  w )  =  ( ( x  x.  (
( T `  y
)  .ih  w )
)  +  ( ( T `  z ) 
.ih  w ) ) )
30 hmop 23425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
y  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( T `  y )  .ih  w
) )
3130eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  w )  =  ( y  .ih  ( T `  w ) ) )
32313expa 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 y )  .ih  w )  =  ( y  .ih  ( T `
 w ) ) )
3332oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  =  ( x  x.  ( y 
.ih  ( T `  w ) ) ) )
3433adantlrl 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `
 y )  .ih  w ) )  =  ( x  x.  (
y  .ih  ( T `  w ) ) ) )
3534adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  =  ( x  x.  ( y 
.ih  ( T `  w ) ) ) )
36 hmop 23425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
z  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( T `  z )  .ih  w
) )
3736eqcomd 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
( T `  z
)  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( T `  w ) ) )
38373expa 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 z )  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) )
3938adantllr 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 z )  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) )
4035, 39oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( ( T `
 y )  .ih  w ) )  +  ( ( T `  z )  .ih  w
) )  =  ( ( x  x.  (
y  .ih  ( T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( T `  w ) ) ) )
4129, 40eqtr2d 2469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( y  .ih  ( T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) 
.ih  w ) )
4211, 21, 413eqtrd 2472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )
)
4342ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  A. w  e.  ~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )
)
44 ffvelrn 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
455, 44sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
4645anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
47 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y
)  e.  ~H )
48 hvmulcl 22516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
4947, 48sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( T `  y
) )  e.  ~H )
5049an12s 777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( T `  y
) )  e.  ~H )
5150adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
52 ffvelrn 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z
)  e.  ~H )
5352adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z
)  e.  ~H )
54 hvaddcl 22515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H )  -> 
( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )
5551, 53, 54syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )
56 hial2eq 22608 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H  /\  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )  ->  ( A. w  e. 
~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
5746, 55, 56syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A. w  e. 
~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
581, 57sylanl1 632 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A. w  e.  ~H  (
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) )  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) ) )
5943, 58mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
) )
6059ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) )
6160ralrimivva 2798 . 2  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) )
62 ellnop 23361 . 2  |-  ( T  e.  LinOp 
<->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
631, 61, 62sylanbrc 646 1  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T  e.  LinOp
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988    + caddc 8993    x. cmul 8995   ~Hchil 22422    +h cva 22423    .h csm 22424    .ih csp 22425   LinOpclo 22450   HrmOpcho 22453
This theorem is referenced by:  0lnop  23487  hmopbdoptHIL  23491  leoptri  23639  leopnmid  23641  nmopleid  23642  opsqrlem1  23643  opsqrlem6  23648  pjlnopi  23650  hmopidmchi  23654  hmopidmpji  23655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-hilex 22502  ax-hfvadd 22503  ax-hvcom 22504  ax-hvass 22505  ax-hv0cl 22506  ax-hvaddid 22507  ax-hfvmul 22508  ax-hvmulid 22509  ax-hvdistr2 22512  ax-hvmul0 22513  ax-hfi 22581  ax-his2 22585  ax-his3 22586  ax-his4 22587
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-ltxr 9125  df-sub 9293  df-neg 9294  df-hvsub 22474  df-lnop 23344  df-hmop 23347
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