HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmoplin Unicode version

Theorem hmoplin 22522
Description: A Hermitian operator is linear. (Contributed by NM, 24-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmoplin  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T  e.  LinOp
)

Proof of Theorem hmoplin
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 22454 . 2  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
2 simplll 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  T  e.  HrmOp )
3 hvmulcl 21593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
4 hvaddcl 21592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  .h  y
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )
53, 4sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
65adantll 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e. 
~H )
76adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  y )  +h  z )  e.  ~H )
8 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  w  e.  ~H )
9 hmop 22502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( ( x  .h  y )  +h  z
)  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  .ih  w
) )
109eqcomd 2288 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
( x  .h  y
)  +h  z )  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  y )  +h  z )  .ih  ( T `  w ) ) )
112, 7, 8, 10syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  y )  +h  z
)  .ih  ( T `  w ) ) )
12 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  x  e.  CC )
1312ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  x  e.  CC )
14 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  y  e.  ~H )
1514ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  y  e.  ~H )
16 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  z  e.  ~H )
17 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w
)  e.  ~H )
181, 17sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
1918adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
2019adantllr 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
21 hiassdi 21670 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  /\  ( z  e.  ~H  /\  ( T `  w
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  .h  y
)  +h  z ) 
.ih  ( T `  w ) )  =  ( ( x  x.  ( y  .ih  ( T `  w )
) )  +  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) ) )
2213, 15, 16, 20, 21syl22anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .h  y )  +h  z )  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( x  x.  ( y 
.ih  ( T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( T `  w ) ) ) )
23 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y
)  e.  ~H )
241, 23sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
2524adantrl 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
2625ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
27 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z
)  e.  ~H )
281, 27sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
2928adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
3029adantllr 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
31 hiassdi 21670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y
)  e.  ~H )  /\  ( ( T `  z )  e.  ~H  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( (
( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) 
.ih  w )  =  ( ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  +  ( ( T `  z
)  .ih  w )
) )
3213, 26, 30, 8, 31syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( ( x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) )  .ih  w )  =  ( ( x  x.  (
( T `  y
)  .ih  w )
)  +  ( ( T `  z ) 
.ih  w ) ) )
33 hmop 22502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
y  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( T `  y )  .ih  w
) )
3433eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
( T `  y
)  .ih  w )  =  ( y  .ih  ( T `  w ) ) )
35343expa 1151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 y )  .ih  w )  =  ( y  .ih  ( T `
 w ) ) )
3635oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  y  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  =  ( x  x.  ( y 
.ih  ( T `  w ) ) ) )
3736adantlrl 700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `
 y )  .ih  w ) )  =  ( x  x.  (
y  .ih  ( T `  w ) ) ) )
3837adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  x.  ( ( T `  y )  .ih  w
) )  =  ( x  x.  ( y 
.ih  ( T `  w ) ) ) )
39 hmop 22502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
z  .ih  ( T `  w ) )  =  ( ( T `  z )  .ih  w
) )
4039eqcomd 2288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H  /\  w  e. 
~H )  ->  (
( T `  z
)  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( T `  w ) ) )
41403expa 1151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 z )  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) )
4241adantllr 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 z )  .ih  w )  =  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) )
4338, 42oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( ( T `
 y )  .ih  w ) )  +  ( ( T `  z )  .ih  w
) )  =  ( ( x  x.  (
y  .ih  ( T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( T `  w ) ) ) )
4432, 43eqtr2d 2316 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( y  .ih  ( T `  w ) ) )  +  ( z  .ih  ( T `
 w ) ) )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) 
.ih  w ) )
4511, 22, 443eqtrd 2319 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( T  e. 
HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )
)
4645ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  A. w  e.  ~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )
)
47 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  .h  y )  +h  z
)  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
485, 47sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H ) )  -> 
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
4948anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H )
50 hvmulcl 21593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  y )  e.  ~H )  -> 
( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
5123, 50sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T : ~H --> ~H  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( T `  y
) )  e.  ~H )
5251an12s 776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  ( x  .h  ( T `  y
) )  e.  ~H )
5352adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H )
5427adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  z
)  e.  ~H )
55 hvaddcl 21592 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  ( T `  y )
)  e.  ~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H )  -> 
( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )
5653, 54, 55syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )
57 hial2eq 21685 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  e.  ~H  /\  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  e.  ~H )  ->  ( A. w  e. 
~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
5849, 56, 57syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e. 
~H ) )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A. w  e. 
~H  ( ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
591, 58sylanl1 631 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A. w  e.  ~H  (
( T `  (
( x  .h  y
)  +h  z ) )  .ih  w )  =  ( ( ( x  .h  ( T `
 y ) )  +h  ( T `  z ) )  .ih  w )  <->  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) ) )
6046, 59mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  HrmOp  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `
 ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y
) )  +h  ( T `  z )
) )
6160ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )
)  ->  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y )
)  +h  ( T `
 z ) ) )
6261ralrimivva 2635 . 2  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) )
63 ellnop 22438 . 2  |-  ( T  e.  LinOp 
<->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( T `  ( ( x  .h  y )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( T `  y ) )  +h  ( T `  z
) ) ) )
641, 62, 63sylanbrc 645 1  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T  e.  LinOp
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735    + caddc 8740    x. cmul 8742   ~Hchil 21499    +h cva 21500    .h csm 21501    .ih csp 21502   LinOpclo 21527   HrmOpcho 21530
This theorem is referenced by:  0lnop  22564  hmopbdoptHIL  22568  leoptri  22716  leopnmid  22718  nmopleid  22719  opsqrlem1  22720  opsqrlem6  22725  pjlnopi  22727  hmopidmchi  22731  hmopidmpji  22732
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040  df-hvsub 21551  df-lnop 22421  df-hmop 22424
  Copyright terms: Public domain W3C validator