Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmops Structured version   Unicode version

Theorem hmops 23515
 Description: The sum of two Hermitian operators is Hermitian. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmops

Proof of Theorem hmops
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopf 23369 . . 3
2 hmopf 23369 . . 3
3 hoaddcl 23253 . . 3
41, 2, 3syl2an 464 . 2
5 hmop 23417 . . . . . . 7
653expb 1154 . . . . . 6
7 hmop 23417 . . . . . . 7
873expb 1154 . . . . . 6
96, 8oveqan12d 6092 . . . . 5
109anandirs 805 . . . 4
111, 2anim12i 550 . . . . 5
12 hosval 23235 . . . . . . . . 9
1312oveq2d 6089 . . . . . . . 8
14133expa 1153 . . . . . . 7
1514adantrl 697 . . . . . 6
16 simprl 733 . . . . . . 7
17 ffvelrn 5860 . . . . . . . 8
1817ad2ant2rl 730 . . . . . . 7
19 ffvelrn 5860 . . . . . . . 8
2019ad2ant2l 727 . . . . . . 7
21 his7 22584 . . . . . . 7
2216, 18, 20, 21syl3anc 1184 . . . . . 6
2315, 22eqtrd 2467 . . . . 5
2411, 23sylan 458 . . . 4
25 hosval 23235 . . . . . . . . 9
2625oveq1d 6088 . . . . . . . 8
27263expa 1153 . . . . . . 7
2827adantrr 698 . . . . . 6
29 ffvelrn 5860 . . . . . . . 8
3029ad2ant2r 728 . . . . . . 7
31 ffvelrn 5860 . . . . . . . 8
3231ad2ant2lr 729 . . . . . . 7
33 simprr 734 . . . . . . 7
34 ax-his2 22577 . . . . . . 7
3530, 32, 33, 34syl3anc 1184 . . . . . 6
3628, 35eqtrd 2467 . . . . 5
3711, 36sylan 458 . . . 4
3810, 24, 373eqtr4d 2477 . . 3
3938ralrimivva 2790 . 2
40 elhmop 23368 . 2
414, 39, 40sylanbrc 646 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   caddc 8985  chil 22414   cva 22415   csp 22417   chos 22433  cho 22445 This theorem is referenced by:  hmopd  23517  leopadd  23627  opsqrlem4  23638 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his2 22577 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-hosum 23225  df-hmop 23339
 Copyright terms: Public domain W3C validator