Theorem hmopst 9940

Description: The sum of two Hermitian operators is Hermitian.

Assertion

Ref	Expression
hmopst	|- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> (T +op U) e. HrmOp)

Proof of Theorem hmopst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoaddclt 9679	. . . 4 |- ((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) -> (T +op U):H~-->H~)
2		hmopft 9796	. . . 4 |- (T e. HrmOp -> T:H~-->H~)
3		hmopft 9796	. . . 4 |- (U e. HrmOp -> U:H~-->H~)
4	1, 2, 3	syl2an 456	. . 3 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> (T +op U):H~-->H~)
5		hmopt 9841	. . . . . . . . 9 |- ((T e. HrmOp /\ x e. H~ /\ y e. H~) -> (x .ih (T` y)) = ((T` x) .ih y))
6	5	3expb 836	. . . . . . . 8 |- ((T e. HrmOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (x .ih (T` y)) = ((T` x) .ih y))
7		hmopt 9841	. . . . . . . . 9 |- ((U e. HrmOp /\ x e. H~ /\ y e. H~) -> (x .ih (U` y)) = ((U` x) .ih y))
8	7	3expb 836	. . . . . . . 8 |- ((U e. HrmOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (x .ih (U` y)) = ((U` x) .ih y))
9	6, 8	opreqan12d 3985	. . . . . . 7 |- (((T e. HrmOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) /\ (U e. HrmOp /\ (x e. H~ /\ y e. H~))) -> ((x .ih (T` y)) + (x .ih (U` y))) = (((T` x) .ih y) + ((U` x) .ih y)))
10	9	anandirs 515	. . . . . 6 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> ((x .ih (T` y)) + (x .ih (U` y))) = (((T` x) .ih y) + ((U` x) .ih y)))
11		hosvaltOLD 9512	. . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ y e. H~) -> ((T +op U)` y) = ((T` y) +h (U` y)))
12	11	opreq2d 3982	. . . . . . . . 9 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ y e. H~) -> (x .ih ((T +op U)` y)) = (x .ih ((T` y) +h (U` y))))
13	12	adantrl 396	. . . . . . . 8 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (x .ih ((T +op U)` y)) = (x .ih ((T` y) +h (U` y))))
14		his7t 8951	. . . . . . . . 9 |- ((x e. H~ /\ (T` y) e. H~ /\ (U` y) e. H~) -> (x .ih ((T` y) +h (U` y))) = ((x .ih (T` y)) + (x .ih (U` y))))
15		simprl 416	. . . . . . . . 9 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> x e. H~)
16		ffvelrn 3820	. . . . . . . . . 10 |- ((T:H~-->H~ /\ y e. H~) -> (T` y) e. H~)
17	16	ad2ant2rl 413	. . . . . . . . 9 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (T` y) e. H~)
18		ffvelrn 3820	. . . . . . . . . 10 |- ((U:H~-->H~ /\ y e. H~) -> (U` y) e. H~)
19	18	ad2ant2l 410	. . . . . . . . 9 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (U` y) e. H~)
20	14, 15, 17, 19	syl3anc 860	. . . . . . . 8 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (x .ih ((T` y) +h (U` y))) = ((x .ih (T` y)) + (x .ih (U` y))))
21	13, 20	eqtrd 1510	. . . . . . 7 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (x .ih ((T +op U)` y)) = ((x .ih (T` y)) + (x .ih (U` y))))
22	2, 3	anim12i 333	. . . . . . 7 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> (T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~))
23	21, 22	sylan 450	. . . . . 6 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (x .ih ((T +op U)` y)) = ((x .ih (T` y)) + (x .ih (U` y))))
24		hosvaltOLD 9512	. . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> ((T +op U)` x) = ((T` x) +h (U` x)))
25	24	opreq1d 3981	. . . . . . . . 9 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> (((T +op U)` x) .ih y) = (((T` x) +h (U` x)) .ih y))
26	25	adantrr 397	. . . . . . . 8 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (((T +op U)` x) .ih y) = (((T` x) +h (U` x)) .ih y))
27		ax-his2 8945	. . . . . . . . 9 |- (((T` x) e. H~ /\ (U` x) e. H~ /\ y e. H~) -> (((T` x) +h (U` x)) .ih y) = (((T` x) .ih y) + ((U` x) .ih y)))
28		ffvelrn 3820	. . . . . . . . . 10 |- ((T:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (T` x) e. H~)
29	28	ad2ant2r 411	. . . . . . . . 9 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (T` x) e. H~)
30		ffvelrn 3820	. . . . . . . . . 10 |- ((U:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (U` x) e. H~)
31	30	ad2ant2lr 412	. . . . . . . . 9 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (U` x) e. H~)
32		simprr 417	. . . . . . . . 9 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> y e. H~)
33	27, 29, 31, 32	syl3anc 860	. . . . . . . 8 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (((T` x) +h (U` x)) .ih y) = (((T` x) .ih y) + ((U` x) .ih y)))
34	26, 33	eqtrd 1510	. . . . . . 7 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (((T +op U)` x) .ih y) = (((T` x) .ih y) + ((U` x) .ih y)))
35	34, 22	sylan 450	. . . . . 6 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (((T +op U)` x) .ih y) = (((T` x) .ih y) + ((U` x) .ih y)))
36	10, 23, 35	3eqtr4d 1520	. . . . 5 |- (((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) /\ (x e. H~ /\ y e. H~)) -> (x .ih ((T +op U)` y)) = (((T +op U)` x) .ih y))
37	36	ex 373	. . . 4 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x .ih ((T +op U)` y)) = (((T +op U)` x) .ih y)))
38	37	r19.21aivv 1723	. . 3 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih ((T +op U)` y)) = (((T +op U)` x) .ih y))
39	4, 38	jca 288	. 2 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> ((T +op U):H~-->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih ((T +op U)` y)) = (((T +op U)` x) .ih y)))
40		elhmopt 9795	. 2 |- ((T +op U) e. HrmOp <-> ((T +op U):H~-->H~ /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih ((T +op U)` y)) = (((T +op U)` x) .ih y)))
41	39, 40	sylibr 200	1 |- ((T e. HrmOp /\ U e. HrmOp) -> (T +op U) e. HrmOp)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969   + caddc 5249  H~chil 8783   +h cva 8784   .ih csp 8788   +op chos 8802  HrmOpcho 8814

This theorem is referenced by:  hmopdt 9942  leopaddt 10060

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256