MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmph0 Unicode version

Theorem hmph0 17749
Description: A topology homeomorphic to the empty set is empty. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmph0  |-  ( J  ~=  { (/) }  <->  J  =  { (/) } )

Proof of Theorem hmph0
StepHypRef Expression
1 hmphen 17739 . . . 4  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  J 
~~  { (/) } )
2 df1o2 6673 . . . 4  |-  1o  =  { (/) }
31, 2syl6breqr 4194 . . 3  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  J 
~~  1o )
4 hmphtop1 17733 . . . 4  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  J  e.  Top )
5 en1top 16973 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  ~~  1o  <->  J  =  { (/) } ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  ( J  ~~  1o  <->  J  =  { (/) } ) )
73, 6mpbid 202 . 2  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  J  =  { (/) } )
8 id 20 . . 3  |-  ( J  =  { (/) }  ->  J  =  { (/) } )
9 sn0top 16987 . . . 4  |-  { (/) }  e.  Top
10 hmphref 17735 . . . 4  |-  ( {
(/) }  e.  Top  ->  { (/) }  ~=  { (/)
} )
119, 10ax-mp 8 . . 3  |-  { (/) }  ~=  { (/) }
128, 11syl6eqbr 4191 . 2  |-  ( J  =  { (/) }  ->  J  ~=  { (/) } )
137, 12impbii 181 1  |-  ( J  ~=  { (/) }  <->  J  =  { (/) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717   (/)c0 3572   {csn 3758   class class class wbr 4154   1oc1o 6654    ~~ cen 7043   Topctop 16882    ~= chmph 17708
This theorem is referenced by:  hmphindis  17751
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-1o 6661  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-top 16887  df-topon 16890  df-cn 17214  df-hmeo 17709  df-hmph 17710
  Copyright terms: Public domain W3C validator