MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmph0 Unicode version

Theorem hmph0 17502
Description: A topology homeomorphic to the empty set is empty. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmph0  |-  ( J  ~=  { (/) }  <->  J  =  { (/) } )

Proof of Theorem hmph0
StepHypRef Expression
1 hmphen 17492 . . . 4  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  J 
~~  { (/) } )
2 df1o2 6507 . . . 4  |-  1o  =  { (/) }
31, 2syl6breqr 4079 . . 3  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  J 
~~  1o )
4 hmphtop1 17486 . . . 4  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  J  e.  Top )
5 en1top 16738 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  ~~  1o  <->  J  =  { (/) } ) )
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  ( J  ~~  1o  <->  J  =  { (/) } ) )
73, 6mpbid 201 . 2  |-  ( J  ~=  { (/) }  ->  J  =  { (/) } )
8 id 19 . . 3  |-  ( J  =  { (/) }  ->  J  =  { (/) } )
9 sn0top 16752 . . . 4  |-  { (/) }  e.  Top
10 hmphref 17488 . . . 4  |-  ( {
(/) }  e.  Top  ->  { (/) }  ~=  { (/)
} )
119, 10ax-mp 8 . . 3  |-  { (/) }  ~=  { (/) }
128, 11syl6eqbr 4076 . 2  |-  ( J  =  { (/) }  ->  J  ~=  { (/) } )
137, 12impbii 180 1  |-  ( J  ~=  { (/) }  <->  J  =  { (/) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039   1oc1o 6488    ~~ cen 6876   Topctop 16647    ~= chmph 17461
This theorem is referenced by:  hmphindis  17504
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-1o 6495  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-top 16652  df-topon 16655  df-cn 16973  df-hmeo 17462  df-hmph 17463
  Copyright terms: Public domain W3C validator