Theorem hmpher 10522

Description: "Is homeomorph to" is an equivalence relation.

Assertion

Ref	Expression
hmpher	|- Er ~=

Proof of Theorem hmpher

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1816	. . . . 5 |- x e. V
2	1	dmhmpha 10520	. . . 4 |- (x ~= y -> x e. Top)
3		visset 1816	. . . . 5 |- y e. V
4	1, 3	rnhmpha 10521	. . . 4 |- (x ~= y -> y e. Top)
5	2, 4	jca 288	. . 3 |- (x ~= y -> (x e. Top /\ y e. Top))
6		hmphsyma 10514	. . 3 |- ((x e. Top /\ y e. Top) -> (x ~= y -> y ~= x))
7	5, 6	mpcom 49	. 2 |- (x ~= y -> y ~= x)
8	2	adantr 391	. . . 4 |- ((x ~= y /\ y ~= z) -> x e. Top)
9	3	dmhmpha 10520	. . . . 5 |- (y ~= z -> y e. Top)
10	9	adantl 390	. . . 4 |- ((x ~= y /\ y ~= z) -> y e. Top)
11		visset 1816	. . . . . 6 |- z e. V
12	3, 11	rnhmpha 10521	. . . . 5 |- (y ~= z -> z e. Top)
13	12	adantl 390	. . . 4 |- ((x ~= y /\ y ~= z) -> z e. Top)
14	8, 10, 13	3jca 821	. . 3 |- ((x ~= y /\ y ~= z) -> (x e. Top /\ y e. Top /\ z e. Top))
15		hmphtr 10517	. . 3 |- ((x e. Top /\ y e. Top /\ z e. Top) -> ((x ~= y /\ y ~= z) -> x ~= z))
16	14, 15	mpcom 49	. 2 |- ((x ~= y /\ y ~= z) -> x ~= z)
17	7, 16	ster 4274	1 |- Er ~=

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 777   e. wcel 960   class class class wbr 2624  Er wer 4264  Topctop 7590   ~= chomeo 10500

This theorem is referenced by:  hmphsymv 10523

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-er 4267  df-homeo 10501  df-hmph 10509

Copyright terms: Public domain