Theorem hmphre 10516

Description: "Is homeomorph to" is reflexive.

Assertion

Ref	Expression
hmphre	|- (J e. Top -> J ~= J)

Proof of Theorem hmphre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 2877	. . . . 5 |- (J e. Top -> U.J e. V)
2		resiexg 3402	. . . . . 6 |- (U.J e. V -> (I |` U.J) e. V)
3		f1oi 3723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (I |` U.J):U.J-1-1-onto->U.J
4	3	a1i 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ (I |` U.J) e. V) -> (I |` U.J):U.J-1-1-onto->U.J)
5		elssuni 2530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. J -> x (_ U.J)
6		resiima 3425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x (_ U.J -> ((I |` U.J)"x) = x)
7	6	eleq1d 1543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x (_ U.J -> (((I |` U.J)"x) e. J <-> x e. J))
8	7	biimprcd 156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. J -> (x (_ U.J -> ((I |` U.J)"x) e. J))
9	5, 8	mpd 26	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. J -> ((I |` U.J)"x) e. J)
10	9	rgen 1701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A.x e. J ((I |` U.J)"x) e. J
11	10	a1i 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ (I |` U.J) e. V) -> A.x e. J ((I |` U.J)"x) e. J)
12	6	adantl 390	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. J /\ x (_ U.J) -> ((I |` U.J)"x) = x)
13		pm3.26 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. J /\ x (_ U.J) -> x e. J)
14	12, 13	eqeltrd 1551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. J /\ x (_ U.J) -> ((I |` U.J)"x) e. J)
15		cnvresid 3575	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- `'(I |` U.J) = (I |` U.J)
16		imaeq1 3407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (`'(I |` U.J) = (I |` U.J) -> (`'(I |` U.J)"x) = ((I |` U.J)"x))
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (`'(I |` U.J)"x) = ((I |` U.J)"x)
18	14, 17	syl5eqel 1555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. J /\ x (_ U.J) -> (`'(I |` U.J)"x) e. J)
19	5, 18	mpdan 706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. J -> (`'(I |` U.J)"x) e. J)
20	19	rgen 1701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A.x e. J (`'(I |` U.J)"x) e. J
21	20	a1i 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ (I |` U.J) e. V) -> A.x e. J (`'(I |` U.J)"x) e. J)
22	4, 11, 21	3jca 821	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ (I |` U.J) e. V) -> ((I |` U.J):U.J-1-1-onto->U.J /\ A.x e. J ((I |` U.J)"x) e. J /\ A.x e. J (`'(I |` U.J)"x) e. J))
23		eqid 1478	. . . . . . . . . . . . 13 |- U.J = U.J
24	23, 23	ishomeo 10503	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ (I |` U.J) e. V) -> ((I |` U.J) e. (J Homeo J) <-> ((I |` U.J):U.J-1-1-onto->U.J /\ A.x e. J ((I |` U.J)"x) e. J /\ A.x e. J (`'(I |` U.J)"x) e. J)))
25	22, 24	mpbird 196	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ (I |` U.J) e. V) -> (I |` U.J) e. (J Homeo J))
26	25	3exp 834	. . . . . . . . . 10 |- (J e. Top -> (J e. Top -> ((I |` U.J) e. V -> (I |` U.J) e. (J Homeo J))))
27	26	pm2.43i 64	. . . . . . . . 9 |- (J e. Top -> ((I |` U.J) e. V -> (I |` U.J) e. (J Homeo J)))
28	27	com12 11	. . . . . . . 8 |- ((I |` U.J) e. V -> (J e. Top -> (I |` U.J) e. (J Homeo J)))
29		eleq1 1537	. . . . . . . . . 10 |- (f = (I |` U.J) -> (f e. (J Homeo J) <-> (I |` U.J) e. (J Homeo J)))
30	29	imbi2d 614	. . . . . . . . 9 |- (f = (I |` U.J) -> ((J e. Top -> f e. (J Homeo J)) <-> (J e. Top -> (I |` U.J) e. (J Homeo J))))
31	30	cla4egv 1866	. . . . . . . 8 |- ((I |` U.J) e. V -> ((J e. Top -> (I |` U.J) e. (J Homeo J)) -> E.f(J e. Top -> f e. (J Homeo J))))
32	28, 31	mpd 26	. . . . . . 7 |- ((I |` U.J) e. V -> E.f(J e. Top -> f e. (J Homeo J)))
33		19.37v 1305	. . . . . . 7 |- (E.f(J e. Top -> f e. (J Homeo J)) <-> (J e. Top -> E.f f e. (J Homeo J)))
34	32, 33	sylib 198	. . . . . 6 |- ((I |` U.J) e. V -> (J e. Top -> E.f f e. (J Homeo J)))
35	2, 34	syl 10	. . . . 5 |- (U.J e. V -> (J e. Top -> E.f f e. (J Homeo J)))
36	1, 35	syl 10	. . . 4 |- (J e. Top -> (J e. Top -> E.f f e. (J Homeo J)))
37	36	imp 350	. . 3 |- ((J e. Top /\ J e. Top) -> E.f f e. (J Homeo J))
38		hmph 10510	. . 3 |- ((J e. Top /\ J e. Top) -> (J ~= J <-> E.f f e. (J Homeo J)))
39	37, 38	mpbird 196	. 2 |- ((J e. Top /\ J e. Top) -> J ~= J)
40	39	anidms 436	1 |- (J e. Top -> J ~= J)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  A.wral 1648  Vcvv 1814   (_ wss 2050  U.cuni 2507   class class class wbr 2624  Icid 2837  `'ccnv 3175   |` cres 3178  "cima 3179  -1-1-onto->wf1o 3187  (class class class)co 3969  Topctop 7590   Homeo chomeosm 10499   ~= chomeo 10500

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-homeo 10501  df-hmph 10509

Copyright terms: Public domain