Theorem hne0 9465

Description: Hilbert space has a nonzero vector iff it is not trivial.

Assertion

Ref	Expression
hne0	|- (H~ =/= 0H <-> E.x e. H~ x =/= 0h)

Proof of Theorem hne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		helch 9111	. 2 |- H~ e. CH
2	1	chne0 9371	1 |- (H~ =/= 0H <-> E.x e. H~ x =/= 0h)

Syntax hints:   <-> wb 146   =/= wne 1588  E.wrex 1649  H~chil 8783  0hc0v 8786  0Hc0h 8799

This theorem is referenced by:  nmopunt 9934

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hv0cl 8868  ax-hfvmul 8870

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-hlim 8836  df-sh 9071  df-ch 9087  df-ch0 9120

Copyright terms: Public domain